2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形解答题专题训练（Word版，附答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》解答题专题训练（附答案）
1．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB＝AC．
2．在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE∥BC，AE平分∠DAC，求证：△ABC是等腰三角形．
3．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
4．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠ADE＝15°．
（1）求∠BDN的度数；
（2）求证：CD＝CE．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F．试说明△CEF是等腰三角形．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，3）和（0，2）．
（1）AB的长为　 　；
（2）点C在y轴上，△ABC是等腰三角形，写出所有满足条件的点C的坐标　 　．
7．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．
（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
9．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
10．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G．求证：△EFG是等腰三角形．
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．
12．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF．
13．仔细阅读完成下面的推理说明
如图，CD是△ABC的角平分线，ED＝EC，∠ADE＝40°，求∠ABC．
解：∵CD是△ABC的角平分线（　 　）
∴∠ECD＝∠　 　（　 　）
又∵DE＝DC（　 　）
∴△CDE是等腰三角形（　 　）
∴∠ECD＝∠　 　＝∠　 　（　 　）
∴DE∥BC（　 　）
∴∠ABC＝∠ADE＝40°（　 　）
14．如图，已知在△ABC中，BA＝BC，点D是CB延长线上一点，DF⊥AC，垂足为F，DF和AB交于点E．求证：△DBE是等腰三角形．
15．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
17．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
18．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
20．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）如图（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝　 　；
（2）如图（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝　 　；
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．
参考答案
1．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，
又∵BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
2．证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，
∴∠EAC＝∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
3．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
4．（1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，又AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝30°，又∠ACD＝90°，
∴∠CDA＝60°
又∠ADE＝15°，
∴∠CDE＝∠CDA﹣∠ADE＝60°﹣15°＝45°
∴∠BDN＝∠CDE＝45°；
（2）证明：在△CED中，∠ECD＝90°，∠CDE＝45°
∴∠CED＝45°
∴CD＝CE．
5．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB．
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
∴CF＝CE．
∴△CEF是等腰三角形．
6．解：（1）∵A（2，3），B（0，2），
∴AB＝＝，
故答案为；
（2）设点C（0，m），
∵A（2，3），B（0，2），
∴BC＝|m﹣2|，AC＝，
由（1）知，AB＝，
∵△ABC是等腰三角形，∴①当AB＝AC时，
∴＝，
∴m＝2（舍）或m＝4，
∴C（0，4），
②当AB＝BC时，|m﹣2|＝，
∴m＝2，
∴C（0，2+）或（0，2﹣），
③当AC＝BC时，|m﹣2|＝，
∴m＝，
∴C（0，），
即：C（0，4）或（0，2+）或（0，2﹣）或（0，）．
故答案为：（0，4）或（0，2+）或（0，2﹣）或（0，）．
7．证明：∵FD∥AC
∴∠PFD＝∠E，∠FDB＝∠C，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠E+∠C＝90°，
∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF即△AEF是等腰三角形．
8．（1）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴AC＝CD，
即△ACD为等腰三角形；
（2）解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；
即∠BAD的度数是60°或30°．
9．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
10．解：∵FG平分∠EFD交AB于点G，
∴∠GFD＝∠EFG，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴△EFG是等腰三角形．
11．解：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵EG∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，
∴∠E＝∠EFA，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
12．解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵EF∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE＝ED，DF＝FC，故EF＝ED+DF＝BE+CF．
13．解：∵CD是△ABC的角平分线（已知）
∴∠ECD＝∠BCD（角平分线的定义）
又∵DE＝DC（已知）
∴△CDE是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∴∠ECD＝∠EDC＝∠BCD（等量代换）
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠ABC＝∠ADE＝40°（两直线平行，同位角相等），
故答案为：已知；角平分线的定义；已知；等腰三角形的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
14．证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵DF⊥AF，
∴∠A+∠AEF＝90°，∠C+∠D＝90°．
∴∠AEF＝∠D．
∵∠D＝∠AEF，
∴∠D＝∠DEB．
∴BD＝BE．
∴△DBE是等腰三角形．
15．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
16．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
17．证明：在△ADB和△BCA中，AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA＝∠CAB．
∴AE＝BE．
∴△EAB是等腰三角形．
18．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形．
19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
20．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝35°，
∴∠α＝∠CAD＝35°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠β＝90°﹣＝；
故答案为：；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝46°，
∴∠BAD＝∠CAD＝46°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67°，
∴∠β＝23°；
故答案为：23°；
（3）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠α+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠β＝∠AED+∠β＝（∠β+∠C）+∠β＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠α＝2∠β．