2021—2022学年人教版八年级数学下册17.2 勾股定理的逆定理 练习题（word版含答案）

17.2勾股定理的逆定理
一、选择题
1.下列各组数中,分别以它们为边长能构成直角三角形的是 (　　)
A.3,4,5 B.,, C.,2, D.32,42,52
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,则满足下列条件的三角形不是直角三角形的是 (　　)
A.a2+b2=c2 B.a2-b2=c2 C.a∶b∶c=4∶5∶6 D.∠A=∠B-∠C
3.下列定理中,没有逆定理的是 (　　)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.两直线平行,同位角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
4.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速为40海里,乙船时速为30海里,两个小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为 (　　)
A.南偏东44° B.北偏西44°
C.南偏东44°或北偏西44° D.无法确定
5.如图1所示,在4×4的方格纸中有一个格点三角形ABC(每个小正方形的边长均为1),下列关于它的描述正确的是 (　　)
图1
A.三边长都是有理数
B.是等腰三角形
C.是直角三角形
D.面积为6.5
二、填空题
6.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　命题.(填“真”或“假”)
7.张大伯家的菜地是一个三角形,它的三边长分别为7 m,24 m,25 m,则这块菜地的面积是　　　　.
8.如图2,在正方形网格中,点O,A,B,C,D均在格点上,则∠AOB+∠COD=　　　　°.
图2
9.如图3,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是　　　　.
图3
三、解答题
10.已知:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形.若是直角三角形,请指出哪一个角是直角.
(1)a=,b=2,c=;
(2)a=5,b=7,c=9;
(3)a=2,b=,c=;
(4)a=5,b=2,c=1.
11.如图4,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=12,BD=16,CD=5.
(1)求△ABC的周长;
(2)判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由.
图4
12.如图5,某住宅小区在施工后留下了一块空地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪.若草坪每平方米30元,则用该草坪铺满这块空地需花费多少元
图5
13.通过本课的学习,你一定了解了直角三角形的非角度的判定方法,即在一个三角形中,若a2=b2+c2,则这个三角形是直角三角形.我们是否可以用这种方式来判定锐角三角形和钝角三角形呢 请你依照课堂上老师教你的思路,并和同学们讨论,猜想下列命题的结论:
设a,b,c是一个三角形的三边长,且a是最长边长,我们可以利用a,b,c三边长间的关系来判断这个三角形的形状:
①若a2=b2+c2,则该三角形是　　　　　;
②若a2>b2+c2,则该三角形是　　　　　;
③若a2例如一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边长是6,由于62=36<42+52,故由上面③可知该三角形的形状,请根据你的猜想解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是2,3,4,则该三角形是　　　　三角形;
(2)若一个三角形的三边长分别是3,4,x,且这个三角形是直角三角形,则x的值为　　　　　;
(3)若一个三角形的三边长分别是,mn,,请判断这个三角形的形状,并写出你的判断过程.
答案
1.A　2.C　
3.B　[解析] A选项,有逆定理,逆定理为两角相等的三角形为等腰三角形;
B选项,只有逆命题,没有逆定理,逆命题为两个相等的角为对顶角,这是一个假命题;
C选项,有逆定理,逆定理为同位角相等,两直线平行;
D选项,有逆定理,逆定理为有两个角互余的三角形是直角三角形.
4.C　[解析] 因为602+802=1002,所以两船的航线夹角为90°.因为甲船的航向为北偏东46°,所以乙船的航向为南偏东44°或北偏西44°.
5.D　
6.假
7.84 m2　[解析] ∵72+242=625=252,∴这块菜地的形状是直角三角形,∴这块菜地的面积是×7×24=84(m2).
8.45　[解析] 如图,连接BC.
设小正方形的边长均为1.
由勾股定理得OC2=12+22=5,OB2=12+32=10,BC2=12+22=5,
∴OC=BC,OC2+BC2=OB2,
∴∠OCB=90°,
即△COB是等腰直角三角形,∴∠COB=45°.
∵∠DOA=90°,
∴∠AOB+∠COD=∠DOA-∠COB=45°.
9.15　[解析] 延长AD至点E,使DE=AD=6,连接CE.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD.
又∵∠ADB=∠EDC,
∴△BAD≌△CED(SAS),
∴CE=AB=5,∠BAD=∠E.
∵AE=2AD=12,CE=5,AC=13,
∴CE2+AE2=AC2,
∴∠E=90°,
∴∠BAD=90°,
∴△ABD的面积为AD·AB=×6×5=15.
10.解:(1)是直角三角形,∠B是直角.
(2)不是直角三角形.
(3)是直角三角形,∠C是直角.
(4)是直角三角形,∠A是直角.
11.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理,得AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2.
∵AD=12,BD=16,CD=5,
∴AB=20,AC=13,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AC+BD+CD=20+13+16+5=54.
(2)△ABC不是直角三角形.理由:
∵AB=20,AC=13,BC=BD+CD=21,
∴AB2+AC2≠BC2,
∴△ABC不是直角三角形.
12.解:如图,连接AC.在Rt△ACD中,
∵AC2=CD2+AD2=32+42=25,∴AC=5.
∵AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,
∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,
则这块空地的面积=S△ACB-S△ACD=AC·BC-AD·CD=24(米2).
故用该草坪铺满这块空地需花费24×30=720(元).
13.[解析] (1)∵22+32<42,
∴该三角形是钝角三角形.
故答案为钝角.
(2)分两种情况:
①若x为斜边长,则x==5;
②若x为直角边长,则斜边长为4,x==.
综上所述,x的值为5或.
故答案为5或.
解:①直角三角形　②钝角三角形　③锐角三角形
(1)钝角　(2)5或
(3)这个三角形是直角三角形.
理由如下:
由题意可知m>n>0,∴>.
∵(m-n)2=m2+n2-2mn>0,∴>mn.
又∵2+(mn)2==2,
∴这个三角形是直角三角形.