北师大版（2019）必修第二册第二章单元素养评价 （word含解析）

北师大版（2019） 必修第二册 第二章 单元素养评价
一、单选题
1．设是两个不共线的向量，若则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，则
A． B． C．或 D．或
5．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
7．若非零向量、满足｜｜＝｜｜，则下面说法恒成立的有
①向量、的夹角恒为锐角 ②
③｜｜｜｜ ④｜｜｜｜
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，则长度的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为边上的角平分线，则
C．边上的中线长为
D．若，则的外接圆半径是
12．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ）
A．a＝50，b＝30，A＝60° B．a＝30，b＝65，A＝30°
C．a＝30，b＝50，A＝30° D．a＝30，b＝60，A＝30°
三、双空题
13．在中，角所对的边分别为,若，则________；若，,则的周长的最小值为_________.
四、填空题
14．扇形中，弦为劣弧 上的动点，与交于点，则的最小值是_____________________．
15．已知点、、，平面区域P是由所有满足的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m的值为________.
16．如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角是30度和45度，两个观察点之间的距离是，则此山的高度为_________（用根式表示）.
五、解答题
17．如图，某校园有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.
（1）当时，求改建后的绿化区域边界与线段长度之和；
（2）若改建后绿化区域的面积为，写出关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值.
18．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
19．已知向量，满足：=4，=3，
(Ⅰ)求·的值；
(Ⅱ)求的值.
20．已知，，为坐标原点.
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）设，，求的面积.
21．在中，角的对边分别为，且成等差数列
（1）若，求的面积
（2）若成等比数列，试判断的形状
22．已知点O是的外接圆的圆心，，，.
（1）求外接圆O的面积.
（2）求
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
因为+==2，故三点共线.
故答案为A.
2．D
【解析】
【分析】
由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.
【详解】
=.
故选：D．
3．A
【解析】
【分析】
用基向量，表示相关向量，再结合向量加法、减法和数量积运算的结合律、交换律，即得解
【详解】
∵
而
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了向量的线性运算和向量数量积在平面几何中的应用，考查了学生综合分析，数形结合、数学运算能力，属于中档题
4．D
【解析】
【详解】
由正弦定理得 ,选D.
5．C
【解析】
【分析】
由平面向量共线坐标运算公式计算可得．
【详解】
解：，，，
，解得：，
故选：．
6．B
【解析】
【分析】
根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.
【详解】
对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；
对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，
对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
利用向量的平方等于向量模的平方,将已知等式平方,得到，利用判断出①、②不正确；将③平方判断出③正确；将④平方，由于已知条件得不到数量积与的模的关系判断出④错.
【详解】
｜｜＝｜｜，
，
对于① ，时，两个向量的夹角为0，故①不正确.
对于② ，满足｜｜＝｜｜， ，故②不正确.
对于③ ，等价于，所以等价于，故③正确.
对于④，即，不确定，故④不正确，故选A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，一般利用向量模的平方等于向量的平方，将模的问题转化为向量的问题来解决.
8．C
【解析】
【分析】
设，用正弦定理把用表示，然后求得，结合两 和与差的正弦公式可求得最大值．
【详解】
设，则，，，
中，由正弦定理，得，
，同理，
＝，其中，，且为锐角，
所以当时，．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用正弦定理解三角形．解题关键是引入角，把表示为的函数，从而把用的三角函数表示，再利用三角函数知识求得最值．
9．BD
【解析】
【分析】
由向量的定义判断A，由模的坐标表示求出模判断B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D．
【详解】
对于A，由于向量不能比较大小，故A错误；
对于B，∵，∴，故B正确；
对于C，∵，∴不成立，故C错误；
对于D，∵，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
解：设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
11．ABD
【解析】
【分析】
由条件求得，从而求得，；由角平分线定理知，，根据平行四边形法则用表示；的边长只有比例关系，求不出中线的长度；由求得的值，结合余弦定理，正弦定理求得外接圆半径.
【详解】
由知，，设，则，
则
，故A正确；
由角平分线定理知，，
则，故B正确；
的边长只有比例关系，求不出中线的长度，故C错误；
若，则，，，
，，
由正弦定理知的外接圆半径是，故D正确；
故选：ABD
12．AD
【解析】
由已知结合正弦定理求解sinB，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．
【详解】
对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，
利用正弦定理可得：
则sinB，
∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，
利用正弦定理可得：
则sinB，此三角形无解；
对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，
利用正弦定理可得：
则sinB，
∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；
对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，
利用正弦定理可得：，
则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．
故选：AD
【点睛】
本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．
13． 1 6
【解析】
由余弦定理化简已知等式即可求解的值；由已知运用正弦定理，三角形的面积公式可求边上的高，过作的平行线， 关于 的对称点，连接，，求得，，再由三点共线取得最小值的性质，即可得到所求周长的最小值．
【详解】
由于在中，角，，所对的边分别为，，，
由于：，
所以由余弦定理可得：，
整理可得．
若，
，
可得，
则，
可得边上的高为，
过作的平行线，再过作的对称点，连接，，
则，，，
可得，当且仅当，，共线时，取得最小值．
即有，即的最小值为4，因为，
所以的周长的最小值为6．
故答案为：1，6．
【点睛】
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查对称思想和三点共线取得最值的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14．
【解析】
【详解】
设弦AB中点为M,则
若同向,则，若反向,则,
故的最小值在反向时取得，
此时,则：，
当且仅当时取等号,即的最小值是.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．
【解析】
【分析】
利用数量积公式求出，根据题意画出符合条件的组成的区域是平行四边形，利用面积建立等量关系，化简即可求解.
【详解】
设，，，，
所以，
令，以为邻边作平行四边形
令，以为邻边作平行四边形
因为，
所以符合条件的组成的区域是平行四边形，如图所示
所以 ，解得：
故答案为
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理以及平行四边形法则，属于中等题.
16．
【解析】
【详解】
试题分析：由正限定理有，解得.
考点：解三角形.
17．（1）；（2），；.
【解析】
（1）利用弧长公式和余弦定理可算出答案；
（2）利用扇形和三角形的面积公式可得，然后利用导数求出其单调性即可.
【详解】
（1）弧.
（2）
，.
由，得，，单调递增，
得，，单调递减.
所以当时，取得最大值.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求，结合的范围可求的值.
（2）由正弦定理可求，设周长为，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围，利用正弦函数的性质可求取值范围.
【详解】
（1），
由余弦定理可得：，
由正弦定理可得：，
整理可得：，
，
，
可得：，
，
（2），，
，
，，
设周长为y，则
，
，
，
，
，
.
周长的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用.
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
19．(Ⅰ) =2 (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（I）计算，结合两向量的模可得；
（II）利用，把求模转化为向量的数量积运算．
【详解】
解：(Ⅰ)由题意得
即
又因为
所以
解得=2.
(Ⅱ)因为，
所以=16+36-4×2=44.
又因为
所以.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：，即模数量积的转化．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意，求得的坐标，令，解得，再由当时，得到与方向相反，求得，即可求解；
（2）设，面积为，则，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
（1）由题意，向量，，
可得，，
令，即，解得，
当时，，
此时与方向相反，夹角为，不合题意，∴，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）设，面积为，则，
因为，
又由，，
可得，解得，
即的面积为.
【点睛】
本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
21．（1）（2）见解析
【解析】
【详解】
试题解析：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．（2）
得B=
b2=a2+c2-2accosB
所以解得或（舍去）
所以
（2）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）
由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac
再由（4），得a2+c2-ac=ac，
即（a-c）2=0
因此a=c
从而A=C（5）
由（2）（3）（5），得A=B=C=
所以△ABC为等边三角形．
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理求出.设外接圆的半径为，由正弦定理得，即求外接圆O的面积；
（2）设的中点为，则，则，即可求出数量积.
【详解】
（1）由余弦定理得
，
.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以外接圆的面积为.
（2）设的中点为，则，
.
【点睛】
本题考查正、余弦定理和向量的数量积，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页