第二章平面向量及其应用2从位移的合成到向量的加减法2.1向量的加法（同步 word版含解析）

第二章 平面向量及其应用 2 从位移的合成到向量的加减法 2.1 向量的加法
一、单选题
1．外接圆的半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于
A． B． C． D．3
2．设、、是非零向量，则下列说法中正确是
A． B．
C．若，则 D．若，则
3．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、双空题
4．如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________.
5．中，D是的中点，若，，，，则_______，______．
三、填空题
6．在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________．
7．化简：___________．
8．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是________.
9．在中，，，，、分别为、的中点，则______.
10．边长为1的正方形中，，，，则__________．
11．计算4()﹣3()___________.
四、解答题
12．如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.
（1）；
（2），并求出它的模.
13．已知三个非零向量满足条件，表示它们的有向线段是否一定能构成三角形 如果不一定,那么满足什么条件才能构成三角形
14．如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：.
15．已知四边形ABCD为平行四边形，设，，试用表示：
（1），；
（2），.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
分析：由△ABC外接圆圆心O满足，可得点O在BC上．由于．可得△OAC是等边三角形．可得，进而得到向量在方向上的投影=．
详解：△ABC外接圆半径等于1，其圆心O满足，
∴点O在BC上，∴∠BAC=90°．
∵
∴△OAC是等边三角形．
∴∠ACB=60°．
∴=．
∴向量在方向上的投影==．
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查三角形的外接圆的性质，考查向量的投影，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在方向上的投影为
2．D
【解析】
【详解】
由题意得，对于A中，表示与共线的向量，
表示与共线的向量，所以不正确；
对于B中，时，此时，
而，所以不正确；
对于C中，若，
而此时与不一定是相等向量，所以不正确；
对于D中，因为、、是非零向量，
若，则是正确.
故选：D.
【点晴】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及其平面向量的数量积的定义，属于中档试题和易错题，其中熟记平面向量的数量积的定义与向量的数量积的运算是解答本题的关键.
3．A
【解析】
由，得，而，再利用向量的加减法进行求解
【详解】
因为，
所以，．
故选：A
4． 1
【解析】
由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果
【详解】
，；
又因为且，为正三角形，
，，，
设的长为（），则，，
时取等号，
的最小值为.
故答案为：1，.
【点睛】
向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
5．
【解析】
根据题意画出图形，再利用向量的加法与减法法则，即可得到答案.
【详解】
根据题意画出图形如图，
则；
．
故答案为：；
【点睛】
本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，根据平行四边形法则得到，然后在直角三角形中，计算出，可得.
【详解】
如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，
由题意可知，，且，，，
在直角三角形中，，，
所以，所以，
所以船行进的方向与水流方向所成角是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的应用，考查了平行四边法则，属于基础题.
7．
【解析】
【详解】
试题分析：.
考点：向量运算.
8．
【解析】
【分析】
根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．
【详解】
如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则，
，故该船行驶的航程为.
故答案为：．
9．
【解析】
根据已知条件，根据向量的线性运算可得，结合向量的数量积运算，即可求得结论.
【详解】
解：因为在中，，，，、分别为、的中点，
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据图形对平面向量进行加减法运算，以及平面向量数量积的计算，考查运算能力和转化思想.
10．
【解析】
【分析】
利用向量的加法可得，从而得到的值.
【详解】
因为，所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量的加法运算和向量的模，注意向量和的运算可以用平行四边形法则或三角形法法则.此问题属于容易题.
11．
【解析】
【分析】
根据向量的加减的几何意义即可求出．
【详解】
4()﹣3()(4﹣3)(4+3﹣1)，
故答案为：
12．（1）；（2），2.
【解析】
【分析】
（1）由即得解；
（2）由即得解.
【详解】
（1）；
（2）.
∴.
【点睛】
本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．它们的有向线段不一定能构成三角形. 只有不共线时,表示它们的有向线段才能构成三角形.
【解析】
按其中两个向量如共线和不共线分类讨论．
【详解】
解:若不共线,则当时,表示的有向线段能构成三角形；若共线,即使,表示它们的有向线段不能构成三角形.
综上所述,只有不共线时,表示它们的有向线段才能构成三角形.
【点睛】
本题考查向量共线与向量加法的三角形法则．不共线的向量的加法满足三角形法则，共线的向量加法不能用三角形法则．
14．证明见解析
【解析】
【分析】
利用平行四边形ABCD的性质找出相等的向量，再利用平面向量的三角形法则进行加法运算可证得命题成立．
【详解】
∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，，
∴，
∴成立.
15．（1），；（2），．
【解析】
（1）根据相反向量的定义求解；
（2）根据向量加法的平行四边形法则与减法的三角形法则求解．
【详解】
解：如图，
（1），；
（2），．
【点睛】
本题主要考查平面向量加法的平行四边形法则与减法的三角形法则，属于基础题．
答案第1页，共2页
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