第二章平面向量及其应用4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理（word版含解析）

第二章 平面向量及其应用 4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量基本定理
一、单选题
1．下面说法中，正确的是　(　　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
2．在等边中，点E在中线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，E是平行四边形ABCD的边AD的中点，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．25 B． C． D．55
4．如图，已知四边形是梯形，分别是腰的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，则
A． B． C． D．
5．已知,则λ是“与的夹角为钝角”的条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、填空题
6．在中，点分别在线段上，且，记，，则_________. (用表示)
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，大正方形边长为，，则________．
8．在中，，，点为边上一点，且，则______．
9．在中，为边中点，且，，则______.
三、解答题
10．已知向量，满足，其中是实数，求证：向量，共线．
11．（1）已知向量,,求作向量，使.
（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？
12．如图，已知菱形的边长为2，，动点满足，.
（1）当时，求的值；
（2）若，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；
由平面向量基本定理知④正确．
综上可得②③④正确．选B．
2．A
【解析】
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据向量的加法和平面向量定理，得到和的值，从而得到等差数列的公差，根据等差数列求和公式，得到答案.
【详解】
因为E是平行四边形ABCD的边AD的中点，
所以，
因为，所以，，
所以等差数列的公差，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的加法和平面向量定理，等差数列求和公式，属于简单题.
4．D
【解析】
【详解】
，则
故选D．
5．B
【解析】
根据向量的夹角为钝角，则，再排除共线时的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可.
【详解】
∵，
∴与的夹角为钝角 ﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0，
即λ且λ≠2.
∴λ是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属综合基础题.
6．
【解析】
【分析】
先用向量的加减法表示出，再把各个向量用表示并化简即可．
【详解】
∵，∴
∴
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查向量线性运算，解题时充分应用向量的加减法法则和数乘运算法则．
7．
【解析】
【分析】
根据图象得到，将原式转换为，然后利用向量数量积公式进行运算．
【详解】
根据题意，如图，可得
因为，又因为四个直角三角形全等，
所以，
又因为，即得，
所以，
所以，
又，，
所以
．
故答案为：．
8．
【解析】
【分析】
将作为基向量，把用基向量表示出来，利用向量乘法公式得到答案.
【详解】
故答案为
【点睛】
本题考查了向量的乘法，选择好基向量是解题的关键.
9．0
【解析】
【分析】
根据向量，，取模平方相减得到答案.
【详解】
两个等式平方相减得到：
故答案为0
【点睛】
本题考查了向量的加减，模长，意在考查学生的计算能力.
10．证明见解析
【解析】
【分析】
根据向量共线的定理，即可得证.
【详解】
有定义得，向量平移后其大小方向不变；向量与一个实数相乘仍为向量；
当时，由得，此时，共线，
当时，
当时，由得，同向共线，
当时，由得，反向共线，
当时，由得，，共线，
综上：向量，共线
11．（1）见解析.
（2）当，共线时，不能构成三角形，当，不共线时能构成三角形.
【解析】
作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.
【详解】
（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，
则，
又，所以，即，
方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，
则，即，
当向量,两个共线时，如下图：使得，，
则，，
所以，，即.
（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，
向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.
【点睛】
本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.
12．（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 时，分别为的中点，可得，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到按照向量点积公式展开得到结果.
【详解】
（1）当时，分别为的中点，
此时易得且的夹角为，则
;
（2）
，故.
【点睛】
(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
答案第1页，共2页
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