第二章平面向量及其应用4平面向量基本定理及坐标表示4.2平面向量及运算的坐标表示（word版含解析）

第二章 平面向量及其应用 4 平面向量基本定理及坐标表示 4.2 平面向量及运算的坐标表示
一、单选题
1．已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ）
A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）
2．若，，，则|（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是
A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④
4．已知向量，，则
A． B． C． D．
5．已知非零向量,满足：||>||. ①与反向；②|+| = ||||. 则有
A．①可得出② B．②可得出①
C．①可得出②,且②可得出① D．①不可得出②,且②也不可得出①
6．已知点，则与向量共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
7．已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是
A． B．
C． D．
8．如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　）
A． B． C． D．
9．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．下列关于向量的说法中不正确的个数有__个.
①向量与是共线向量，则、、、四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形是平行四边形当且仅当.
11．已知向量，，若与垂直，则m=______
12．已知向量，，则__________．
13．设向量，均为单位向量，且，则______.
三、解答题
14．已知的顶点坐标为，点的横坐标为14，且，点是边上一点，且.
（1）求实数的值及点的坐标；
（2）求点的坐标；
（3）若为线段(含端点)上的一个动点，试求的取值范围.
15．对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
16．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且．
(1)若C点坐标为，求D点坐标；
(2)原点为O，，求P点坐标．
17．如图，的对角线AC和BD交于点O，设，，试用基底，表示和．
18．已知平面坐标系中，点为原点，，.
（1）求向量的坐标及；
（2）若，，求及的坐标；
（3）求在方向上的投影.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
设的起点坐标为，
的终点坐标为（3，-6），
，
又，
，解得，
的起点坐标为，
故选：C.
2．A
【解析】
由题意结合平面向量线性运算法则、数量积的运算可得，再利用即可得解.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算、数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据基底的定义进行判断，即判断两个向量是否共线即可．
【详解】
对于①，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底；
对于②，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底；
对于③，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底；
对于④，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底．
由分析可得① ④中的向量可作为平面的一组基底．
故选D．
【点睛】
本题考查平面基底的概念和理解，解题的关键是判断两个向量是否共线，属于基础题．
4．A
【解析】
【详解】
因为 ，故选A.
5．C
【解析】
【详解】
当且反向，则，即①可得出②
当，则反向，即②可得出①
6．C
【解析】
首先求出，再结合选项即可得到答案.
【详解】
由题意知，点，则向量，
所以与共线的单位向量为或.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平面向量平行的坐标表示，属于简单题.
7．D
【解析】
【详解】
根据题意知，向量、是不共线的向量，，，解得，所以实数的取值范围是，故选D.
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
8．B
【解析】
【分析】
对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解.
【详解】
由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则，
则，
即，，
化简得：，令，
因为，，，先增大后减小，
所以的最小值为较小值，
即的最小值为，
所以的最小值为1.
故选：B
【点睛】
此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解.
9．A
【解析】
【分析】
利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】
，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选：A
10．4
【解析】
根据特殊情况以及向量的有关知识逐项判断即可.
【详解】
解：对①，向量与是共线向量，
则、、、四点不一定在一直线上，
例如直线，故①错误；
对②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对③，零向量与它的相反向量相等，故③错误；
对④，四边形是平行四边形当且仅当,
且、、、不在一条直线上，故④错误.
故答案为：4.
11．7
【解析】
【分析】
根据给定条件求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可计算得解.
【详解】
因向量，，则，
而与垂直，于是得，解得，
所以.
故答案为：7
12．
【解析】
【详解】
向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．
故答案为：．
13．-7
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积运算将式子化简，进而得到答案.
【详解】
因为，所以，所以
故答案为：-7.
14．（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据即可得解；
（2）根据是边上一点满足三点共线，结合即可求解；
（3）设，且，表示出根据二次函数求取值范围.
【详解】
（1）设，则.
由，
解得，
所以.
（2）设点则，又.
则由，得①.
又点在边上，且，
所以，即②.
联立①②，解得，
所以点.
（3）由于为线段上的一个动点，故设，且，
则，
则，
所以的最大值为0，最小值为，
故的取值范围为.
15．（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由 均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【详解】
解：（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
应用已知坐标表示出，再设、，结合题设写出、的坐标，最后根据向量相等求参数值，即可写出D、P坐标；
(1)
由题设，，若，则，
∴，即，可得，
∴.
(2)
若，则，又，
∴，即，
∴
17．，.
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法、减法运算的三角形法则，及相反向量、相等向量的定义可直接求得结果.
【详解】
解：∵的对角线AC和BD交于点O，，
∴，
∴，
故，.
18．（1）；；（2），；（3）
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算、在方向上的投影的公式即可求得结果.
【详解】
（1）
（2）
（3）在方向上的投影为：
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，考查基础运算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页