第二章平面向量及其应用5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积（word版含解析）

第二章 平面向量及其应用 5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积
一、单选题
1．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆相交于A，B两点，且，若且M是线段AB的中点，则的值为
A． B． C．3 D．4
3．下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，满足，，，，则，的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知，且与的夹角为45°，则的值为（ ）
A．0 B． C．0或 D．或1
7．对两个非零向量、，命题：向量与向量的夹角为锐角，命题：，则命题是命题的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知平面向量，满足，，且，则，的夹角的余弦（ ）
A． B． C． D．
9．设向量满足，则
A． B．2
C．2 D．
10．为平行四边形两条对角线的交点，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，且则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
13．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-1 D．6
14．已知在四边形中，，，，则（ ）．A．4 B．3 C．2 D．1
二、双空题
15．若向量，为单位向量，与的夹角为，则______.已知向量，，则在方向上的投影为___________.
三、填空题
16．三边的长分别为，，，若，，则_______．
17．在中，已知，当时，的面积为________.
18．已如椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为________．
19．设向量，其中0<α<β<π，若以向量与为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.
四、解答题
20．已知，，与的夹角是.
（1）求；
（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.
21．已知的顶点坐标分别为，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【详解】
分析：利用求模运算得到|2+3|，向量|2+|进而得到向量向量2+3与向量2+的夹角余弦，根据投影定义可得答案．
详解：向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，
所以|2+3|2=42+12 +92=16+12||||cos120°+81=61，|2+3|=．
又|2+|2=4+4+=16+4×3×2cos120°+9=13，
所以|2+|=，
则cos＜2+3，2+＞===，
所以向量2+3在向量2+方向上的投影为|2+3|cos＜2+3，2+＞==，
故选D．
点睛：本题考查平面向量数量积的几何意义，考查向量模的求解及投影等概念，属于中档题．
2．D
【解析】
由，则，则为线段的中点，则，在直角中，可得答案.
【详解】
由，M是线段AB的中点,则
所以
由，则，则为线段的中点，如图
所以
在直角中，
故选：D
3．A
【解析】
根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案；
【详解】
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要相同.
4．C
【解析】
【分析】
设，，则，由图可知：，的夹角为，
因为，，，所以，即可得解.
【详解】
如图：
设，，则，
则，的夹角为，
因为，，，所以，
所以，的夹角为120°．
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的夹角，考查了利用几何图形解决向量问题，属于基础题.
5．D
【解析】
由题意得，得到是以O为直角顶点的等腰直角三角形，又由得，进而得到，即可求解三角形的面积，得到答案．
【详解】
由题意得，，又是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
所以.
由得，所以，
由得，所以，所以，
所以，故.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
由，先表示出两个向量的数量积和模，再用向量的夹角公式求解.
【详解】
因为，
所以，，
又因为与的夹角为45°，
所以 ，
即，
解得 或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
7．A
【解析】
根据向量数量积的定义即，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【详解】
若向量与向量的夹角为锐角即，
则成立，即充分性成立；
若即，
则
当时，，但为锐角不成立，即必要性不成立；
故命题是命题的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】
本题考查了向量数量积的定义以及充分条件、必要条件的判断，属于一般题.
8．B
【解析】
【分析】
利用向量垂直的性质得到，再计算的值，从而求得与的夹角的余弦值．
【详解】
非零向量满足，，且，
则，
即，
所以，
故选：B
9．C
【解析】
【详解】
，选C．
10．D
【解析】
【分析】
由题意可得，再由向量的减法结合条件可得答案.
【详解】
．
故选: D．
11．C
【解析】
【分析】
把两边平方化简即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故选：C
12．A
【解析】
由题，可先算得m的值，然后套用向量的投影公式，即可得到本题答案.
【详解】
因为，所以，解得，
所以，
则，
所以在方向上的投影为．
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量垂直的等价条件，以及平面向量的投影公式，考查学生的运算求解能力.
13．C
【解析】
【分析】
先求出，再解方程即得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以.
故选：C
14．C
【解析】
根据题意，得到四边形是直角梯形，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【详解】
由，可得，
所以，．
又由，所以四边形是直角梯形，如图所示，
所以．
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟练向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
15． 1
【解析】
【分析】
利用平面向量在坐标形式下的相关计算公式计算即可.
【详解】
若向量，为单位向量，与的夹角为，
则，则
若向量，，
则在方向上的投影为
故答案为：；1
【点睛】
本题考查的是平面向量在坐标形式下的相关计算，较简单.
16．
【解析】
【详解】
由题知
故本题填．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理,数量积.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
17．
【解析】
【详解】
由得，，
所以，.
考点：平面向量的数量积、模，三角形的面积.
18．
【解析】
【分析】
由椭圆定义、点关于直线的对称性及已知向量等式求出，进而求得，即可求出椭圆方程.
【详解】
因为与关于直线对称，所以直线为的垂直平分线.
所以，由椭圆定义可得.
设直线与交于点，则为的中点，且，所以
所以，，又，解得.
又，则，故椭圆C的方程为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点在于结合图形由向量等式求出.
19．
【解析】
【详解】
由题意知，，所以，所以，即4cos (β－α)＝1，所以cos(β－α)＝
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求出，再根据代入计算可得；
（2）依题意可得且，得到不等式解得；
【详解】
（1），，与的夹角是.
（2）与的夹角为钝角
且
即，即解得
解得
综上可得
【点睛】
本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.
21．
【解析】
依题意，可求得的三边的长，从而可判断三角形是以为直角的直角三角形，从而可得的值.
【详解】
的顶点坐标分别为，
，，，，
同理可得：，满足，
是以为直角的直角三角形，
,，，
.
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示、向量的模，属于基础题.
答案第1页，共2页
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