第二章平面向量及其应用6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理（Word含答案解析）

第二章 平面向量及其应用 6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理
一、单选题
1．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上．则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．15米 C．20米 D．米
2．在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，，，则此三角形外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，则一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，且面积为.现有一只蚂蚁在内自由爬行，则某一时刻该蚂蚁与的三个顶点的距离都不小于1的概率为
A． B． C． D．
5．在中，若，，则外接圆的直径为（ ）
A． B． C．12 D．24
6．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．中，已知下列条件：①；②；③；④.其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．③④
9．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝1，∠A＝60°，则∠B＝（ ）
A．45° B．30° C．60° D．90°
10．在中，已知，，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
二、填空题
11．中，，是的中点，若，则_____．
12．某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为700m，300m，800m，这个区域的面积是____.
三、解答题
13．在中，，点D在边AB上，，且.
（1）若的面积为，求CD；
（2）设，若，求证：.
14．在中，，，的对边分别为，，，已知．
（1）判断的形状；
（2）若，，求．
15．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)若，的面积为，求的周长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
先画出示意图，根据题意可求得，则可求，利用正弦定理可得，再在中利用即得.
【详解】
如图所示，由题得，，，，由正弦定理可知，米，在中，米，即旗杆的高度为15米.
故选：B
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，是基础题.
2．D
【解析】
【分析】
先利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径，即可求解.
【详解】
解：，，，
由余弦定理得：，
解得：，
由正弦定理得三角形外接圆的半径为：，
即三角形外接圆的面积为：.
故选：D.
3．B
【解析】
【详解】
由正弦定理设，又，即，所以．故选B．
4．A
【解析】
先把三角形求解出来，结合几何概型可求.
【详解】
因为三角形的面积为，所以，即；
又因为，，所以，即，所以.
蚂蚁到三个顶点的距离小于等于1时，活动区域是以三个顶点为圆心半径为1的扇形区域，其面积为，三角形面积为，故所求概率为，故选A.
【点睛】
本题主要考查几何概型和解三角形.几何概型的求解一般是先求总的几何度量，再求事件包含的几何度量，从而可得概率.
5．B
【解析】
【分析】
先求得，结合正弦定理求得所求直径.
【详解】
，
所以外接圆的直径.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
根据，由正弦定理得到，再根据，结合余弦定理解得，然后代入求解.
【详解】
因为，
所以由正弦定理得，
又因为，
所以，
由余弦定理得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据条件利用正弦定理借助三角恒等变形用表示，再确定C的范围即可得解.
【详解】
在中，由及正弦定理得：
，，
于是得
因为为锐角三角形，则有，即，解得，有，则，
所以的取值范围为．
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求解判断.
【详解】
①，得，所以，故满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两解；
②，得，所以，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两解；
③，得，所以，，故三角形有一解；
④，得，所以，所以B不存在，故三角形无解；
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理，解出，从而求出角B的值，再根据边的大小关系确定B的唯一性，从而得出结果.
【详解】
解：由正弦定理可知：，所以，则或，又因为，所以，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，已经边长求角，考查大边对大角的知识点，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理，代入数据，即可得答案.
【详解】
由正弦定理得，
所以.
故选：C
11．
【解析】
【分析】
利用正弦定理，求得，列出方程，整理即可求得结果.
【详解】
设Rt△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c.
在△ABM中，由正弦定理，
∴sin∠AMB＝sin∠BAM＝.
又sin∠AMB＝sin∠AMC＝，
∴＝，整理得(3a2－2c2)2＝0.
则＝，故sin∠BAC＝＝.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，属基础题.
12．
【解析】
利用余弦定理求得三角形的一个角的余弦值，进而求得其正弦值，由三角形的面积公式求得三角形的面积.
【详解】
设，则，由于，所以，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
13．（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角形的面积公式求得，再由余弦定理列方程求出结果；（2）两次利用正弦定理，结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式进行恒等变换求出结果．
【详解】
（1）因为, 即，
又因为,，所以．
在△中,由余弦定理得，
即，解得．
（2）在△中，，因为，则，又，
由正弦定理，有， 所以．
在△中, ，
由正弦定理得，，即，
化简得展开并整理得
【点睛】
以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
14．（1）为直角三角形或等腰三角形（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和题设条件，得，再利用三角恒等变换的公式，化简得，进而求得或，即可得到答案．
（2）在中，利用余弦定理，求得，即可求得的值．
【详解】
（1）由正弦定理可知，代入，
，
又由,
所以，
所以，
所以，则，
则或，所以或，
所以为直角三角形或等腰三角形．
（2）因为，则为等腰三角形，从而，
由余弦定理，得，
所以．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
15．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系结合余弦定理即可得结果；
（2）由三角形的面积公式可得的值，通过余弦定理可得的值，进而得结果.
(1)
因为，所以，
化简得，所以．
因为，所以
(2)
因为，，的面积为，所以，得．
所以，整理得．
即，解得，
故的周长为．
答案第1页，共2页
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