第六章立体几何初步1基本立体图形1.1构成空间几何体的基本元素1.2简单多面体——棱柱、棱锥和棱台（word版含解析）

第六章 立体几何初步 1 基本立体图形 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
一、单选题
1．有下面三组定义：
有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确定义的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知直四棱柱的侧棱长为4，底面为矩形且面积为4，一小虫从点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．8 B． C． D．
3．一个动点从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的个数是
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的各侧棱延长后交于一点；④棱台的侧面是等腰梯形．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命题中正确的个数是（ ）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点．设、、，则、、之间的关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
8．顺次连结空间四边形四边中点所得的四边形一定是_______四边形.
9．①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有_________．
10．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥.( )
（2）棱台的侧棱长都相等.( )
（3）棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )
11．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则与所成角的余弦值为______________.
三、解答题
12．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4.
（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；
（2）求多面体ABC﹣A1B1C1D1的体积.
13．如图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）这个几何体是什么体？
（2）如果面在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？
（3）如果面在前面，从左面看是面，那么哪一面会在上面？
（4）从右边看是面，面在后面，那么哪一面会在上面？
14．用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别是什么空间图形？
15．分别写出下列直观图所对应的几何体名称.
16．如图1-1-2所示为长方体，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确.故选B.
考点：棱柱，棱台，棱锥的概念.
2．B
【解析】
【分析】
画出直四棱柱和它的侧面展开图，设直四棱柱的底面的矩形的两边分别为，求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
如图，设直四棱柱的底面的矩形的两边分别为，上面右图为棱柱的侧面展开图，
所以，
由题得（当且仅当时 取等号）
所以的最小值为4，
所以.
所以小虫爬行的最短路程为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．C
【解析】
【分析】
可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线，即为所求的最短路线，得到答案.
【详解】
由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到定点位置，共有6种展开方式，
若把平面和平面展开到同一个平面内，在矩形中连接会经过的中点，故此时的正视图为②；
若把平面和平面展到同一个平面内，在矩形中连接会经过的中点，此时的正视图为④
其中其它几种展开方式所对应的正视图在题中没有出现或已在②④中，故选C.
【点睛】
本题主要考查了正方体的结构特征，以及侧面展开的应用，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理完成侧面展开是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【详解】
将正三棱柱沿着侧棱展开，此时变成了平面图形，连BE（与相交），则此时距离最短，且，选C.
5．B
【解析】
【分析】
根据圆锥的性质可判断①，根据棱台的性质可判断②，③，举出反例当棱锥不是正棱锥时可判断④.
【详解】
在①中，由圆锥母线的定义可知圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故①是正确；用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台，故②错误；棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一定相交于一点，故③正确；当棱锥不是正棱锥时，所得棱台的侧面不是等腰梯形，所以④错误；故选B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查圆柱、圆锥、圆台的定义等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，是基础题.
6．B
【解析】
举反例说明①③不正确；②是多面体的定义，正确；由棱锥的结构特征说明④错误.
【详解】
解：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；
②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，故②正确；
③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；
④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，故④不正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查棱柱、棱锥和多面体的定义及结构特征，通过举反例说明某个命题的正确性是一种常用的方法，属于中档题.
7．B
【解析】
求出、、的大小即可求解.
【详解】
由题意可得，
连接，则为等边三角形，所以，
连接，则，
，
取的中点，
连接，则，,
所以，
所以，即，
所以.
故选：B
8．平行四边形
【解析】
【分析】
顺次连结空间四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形．
【详解】
解：连接BD，
已知空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故答案为平行四边形．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质以及平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
9．②④⑤⑥
【解析】
【分析】
根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断选项即可.
【详解】
①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.
底面如果不是长方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；
②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；
③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；
④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，
所以，有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；
⑤底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故⑤正确；
⑥直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑥正确.
故答案为：②④⑤⑥
10． √ × ×
【解析】
【分析】
根据几何体的概念逐一判断即可.
【详解】
有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥，故（1）正确；
棱台的侧棱长不一定相等，故（2）错误；
棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故（3）错误；
故答案为：√，×，×
【点睛】
本题考查的是几何体的概念，较简单.
11．
【解析】
【分析】
延长交于点，取中点，连接，则为与所成角，在中即求.
【详解】
正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，
延长交于点，设中点，连接，则分别为中点，且，
∴，所以为与所成角，
由题可知，
∴.
即与所成角的余弦值为.
故答案为：.
12．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合直棱柱的几何特征、线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定即可得证；
（2）由题意结合平面向量可得，由结合棱柱、棱锥的体积公式即可得解.
【详解】
（1）证明：在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面，
因为平面，所以，
又，，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）单独画出底面，以为坐标原点，、为x轴、y轴，建立直角坐标系，如图：
设，则，，，所以，，
由可得，解得或（舍去），
所以，
所以多面体的体积
.
【点睛】
本题考查了棱柱几何特征的应用、面面垂直的判定及几何体体积的求解，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于中档题.
13．（１）长方体 （２）（３）（４）
【解析】
【详解】
（1）还原几何体得长方体
(2)
(3)
(4)
14．正三棱柱，圆锥，正四棱台．
【解析】
【分析】
根据基本几何体的展开图判断．
【详解】
按图画好后剪下，沿图中虚线折起来粘好得到下列图形：
它们分别是正三棱柱，圆锥，正四棱台．
15．（1）四棱锥；（2）圆柱；（3）三棱柱.
【解析】
根据棱锥、圆柱、棱柱的几何特征，写出对应几何体的名称.
【详解】
（1）为四棱锥；
（2）为圆柱.
（3）为三棱柱.
【点睛】
本小题主要考查常见几何体的名称，属于基础题.
16．见解析
【解析】
【分析】
观察几何体的结构特征，利用棱柱的定义进行判断即可.
【详解】
截面BCFE右侧部分是棱柱，满足棱柱的定义，它是三棱柱，其中和是底面，EF，，BC是侧棱.
截面BCFE左侧部分也是棱柱，它是四棱柱，其中四边形和四边形是底面，，EF，BC，AD为侧棱.
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征及棱柱的有关概念，属于基础题.
答案第1页，共2页
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