第六章立体几何初步1基本立体图形1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台（Word含解析）

第六章 立体几何初步 1 基本立体图形 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
一、单选题
1．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的个数是(　　)
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；
②过圆锥侧面上一点有无数条母线；
③圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形．A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知正四面体的内切球的表面积为36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为
A．27 B．27 C．54 D．54
4．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
二、填空题
5．用一个平面去截直三棱柱，交分别于点.若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形.
6．一个正方体内接于一个高为，底面半径为的圆锥，则正方体的棱长为________.
7．给出下列命题：
①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________（只填序号）．
8．某市政府需要规划如图所示的一块公园用地，已知，要求，，，要使得公园（四边形ABCD）的面积取得最大值，则此时________．
9．某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.
10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是_____．
11．给出下列说法：
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体．
其中说法正确的是________（填序号）．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
13．在球内有相距的两个平行截面，面积分别为，求此球的半径.
14．如图，将绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单空间图形构成的？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意.
【详解】
此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，
是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面图形旋转形成的几何体，考查空间想象能力和推理能力，属于简单题.
2．B
【解析】
【分析】
由空间几何体的定义和性质，逐个选项判断可得答案．
【详解】
选项①，当长方形绕其中一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆柱，
当绕对角线所在直线旋转一周所得的几何体显然不是圆柱，故错误；
②由母线的定义可知母线必过圆锥的顶点，∴过圆锥侧面上一点有且只有一条母线，故错误；
③圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形．正确.
故选B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及空间几何体的定义和性质，属中档题．
3．C
【解析】
【分析】
先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可.
【详解】
解：由内切球的表面积，得内切球半径
如图，过点作平面，则点为等边的中心
连接并延长交于点，且点为中点，连接
记内切球球心为，过作，设正四面体边长为
则，，，
又因为，所以
由，得，即，解得
因为过棱和球心，所以即为所求截面
且
故选C.
【点睛】
本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键.
4．C
【解析】
【分析】
利用旋转体的结构特征即可求解．
【详解】
解：Ａ．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体可能不是圆锥，故错误；
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误；
C．正确；
D．通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误．
故选：C．
5．②⑤
【解析】
【分析】
讨论是否平行，结合直三棱柱的性质判断所得截面的形状.
【详解】
由面面且为直三棱柱，易知截面中，
当时，此时，四边形为矩形；
当不与平行时，四边形为梯形.
故答案为：②⑤
6．
【解析】
过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为，根据三角形相似可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】
如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为，
圆锥的轴交正方体上底面面对角线于点，则，
易得，可得，即，解得.
因此，正方体的棱长为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查圆锥的内接正方体棱长的计算，一般要对圆锥的轴截面进行分析，考查计算能力，属于中等题.
7．②④
【解析】
【分析】
利用圆锥和圆柱的结构特征分析判断即可
【详解】
①错．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台；
由圆锥的性质可知②正确，
③错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
④由圆柱的定义可知正确．
故答案为：②④
8．
【解析】
首先设，可由含的三角函数表示出四边形的面积；再研究三角函数的单调性，求出其最大值点即可.
【详解】
解：设，，则，，，，
所以，现考察函数，
，解得：，（舍），
由于在上单调递减，由复合函数的单调性知：
当时，单调递增，时，单调递减；
故当时，四边形面积取得最大值，故．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角函数型复合函数的单调性和由单调性求最值点，考查运算求解能力，属于中等题型.
9．
【解析】
【分析】
根据圆柱侧面积公式，结合侧面展开图的性质，求得圆柱底面圆的周长，求得结果.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图是边长为16的正方形，
所以该圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长为4，
因此半径为，
故该圆柱一个底面的面积为．
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关圆柱的问题，正确解题的关键是要明确圆柱侧面展开图的特征以及相关公式.
10．
【解析】
【分析】
转化条件得，根据圆锥表面积可列方程，解出后即可求出圆锥的高，即可得解.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，由题意得即.
则解得，则，
所以该圆锥的高，
所以圆锥体积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆锥的性质及其体积计算，属于基础题.
11．①
【解析】
【分析】
根据圆柱的结构特征判断①③, 根据圆台的结构特征判断②.
【详解】
①正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②不正确，圆台的母线延长后必相交于一点；
③不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
故答案为：①
12．见解析．
【解析】
【详解】
试题分析：直角三角形绕着一条直角边进行旋转得到的是圆锥，所以旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
试题解析：
旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
13．.
【解析】
讨论截面在球心同侧和截面在球心两侧两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
当截面在球心同侧时，如图（1），则；.
设此球半径为，则有.
当截面在球心两侧时，如图（2），则有，无解.
综上所述，球的半径为.
【点睛】
本题考查了根据平行截面距离求半径，没有考虑完整情况是容易发生的错误.
14．答案见解析
【解析】
【分析】
根据旋转体的概念分析作图即可.
【详解】
在圆柱内挖去一个底面与圆柱的底面相同，但高小于圆柱的高的圆锥，再将此圆锥和剩下的几何体，拼成如图所示的几何体，该几何体即为平行四边形ABCD绕直线AB旋转一周所得到的几何体.
答案第1页，共2页
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