第六章立体几何初步4平行关系4.2平面与平面平行（Word含解析）

第六章 立体几何初步 4 平行关系 4.2 平面与平面平行
一、单选题
1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．，， B．平面内存在一条直线与平面垂直
C．， D．，
2．设，为两个不同平面，，是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则与是异面直线
C．若，，，则
D．若，则且
3．已知正方体的体积为，点在线段上点异于点，，点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题
4．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.
5．如图所示，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于，，，若，则_____.
6．如图所示，直线平面，点平面，并且直线a和点A位于平面两侧，点B，C，，AB，AC，AD分别交平面于点E，F，G，若，，，则EG=______.
7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同平面，则以下命题不成立的是__
（1）若，，，则
（2）若，，则
（3）若，，则
（4）若，，，则
三、解答题
8．两个边长均为2的正方形与按如图的位置放置，为的中点，（）.
（1）当时，证明：平面；
（2）若在平面上的射影为的中点，与平面所成角为30°，求的值.
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BD的中点．
求证：(1)EF∥平面PAD；
(2)PA⊥平面PDC.
10．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．
（Ⅰ）求证：，，，四点共面；
（Ⅱ）求证：平面∥平面；
（Ⅲ）画出平面与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）．
11．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面.，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
12．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．
13．如图，一个侧棱长为的直三棱柱容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱，，，的中点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）当底面水平放置时，求液面的高．
14．如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
直接利用线面垂直和线线垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论.
【详解】
设m, n是两条不同的直线，a, β是两个不同的平面，则a⊥β的充要条件是:平面a内存在一条直线与平面β垂直,
对于A：当，，时，可能a//β,故A错误;
对于C：当，,得到a⊥β，但是当时，当内，只有m⊥交线n时，m⊥β成立，故C错误;
对于D：当，时,得到a//β, 故D错误.
故选：B
2．C
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
解：对于：由，，则或，故错误；
对于：若，，则与可能是异面直线、平行或相交，故错误；
对于：若，，，则，故正确；
对于：若，，则或或，故错误；
故选：
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
3．D
【解析】
【分析】
易知正方体的棱长为，找到平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置，得到的长度，从而得到所求的的取值范围.
【详解】
因为正方体的体积为，
所以其棱长为，
如图所示，平面截正方体所得的截面为四边形的临界位置
因为平面平面
平面平面,
平面平面,
所以，
易得
所以，
所以
所以，当时，截面为四边形，
当时，截面为五边形，
故所求的线段的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查截面图形问题，面面平行的性质，属于中档题.
4．1
【解析】
【分析】
两条平行直线确定个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果.
【详解】
两条平行直线可确定个平面
直线与两条平行直线交于不同的两点 该直线也位于该平面上
这三条直线可确定个平面
本题正确结果：
【点睛】
本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.
5．425##0.16
【解析】
【分析】
由面面平行得到，再由相似三角形得到面积比为相似比的平方，即可得到面积比．
【详解】
解：由图知，平面平面，
平面，
又由平面平面，则，
同理可得，，
，，，
，
，即
，
由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，
．
故答案为：．
6．##
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解
【详解】
因为直线平面，点B，C，，平面平面，
所以∥，
所以,
所以，
故答案为：
7．（1）（2）（4）
【解析】
【分析】
由线线、线面、面面的位置关系，判断线、面有关命题的真假即可.
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同平面，知：
在（1）中，若，，，则与平行或异面，错误；
在（2）中，若，，则与相交、平行或，错误；
在（3）中，若，，则由面面垂直的判定定理得，正确；
在（4）中，若，，，则与相交或平行，错误．
故答案为：（1）（2）（4）．
8．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1），是的中点，取的中点，利用面面平行得证.
（2）过作垂直于平面，垂足为，作中点，求得，，利用余弦定理求得得解.
【详解】
（1）证明：如图，取的中点，的中点为，连接，，
∵，，
∴是的中点，
∴，又平面，
∴平面
同理可证，平面，又∵，
∴平面平面.
又平面，∴平面.
（2）解：过作垂直于平面，垂足为，作中点，
因为在平面上的射影为的中点，，
∴，
，，
，
在△中，
.
由与平面所成角为30，∴.
在△中，
由余弦定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，.
【点睛】
该题考查利用面面平行证明线面平行及与空间角有关的探索性问题.与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解，求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式；也可转化为利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.
9．（1）见解析.
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1) 连接AC，先证明EF∥PA，再证明EF∥平面PAD.(2)先证明CD⊥PA，PA⊥PD再证明PA⊥平面PDC.
【详解】
证明　(1)连接AC，由于ABCD为正方形，F为BD的中点，所以A、F、C共线，F为AC的中点，又E为PC的中点，
∴EF∥PA，又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
故EF∥平面PAD.
(2)由于CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，∴CD⊥侧面PAD，
∴CD⊥PA.
由于PA＝PD＝AD，∴PA2＋PD2＝AD2.
即PA⊥PD，又PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PDC.
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.
10．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）要证，，，四点共面，只需证明∥；
（Ⅱ）只需证明∥平面，∥平面即可；
（Ⅲ）因为∥平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知∥，过作的平行线即可.
【详解】
（Ⅰ）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以∥，
又四边形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四点共面；
（Ⅱ）由已知，为的中位线，所以∥，所以∥，
又平面，平面，所以∥平面，
同理∥∥，且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，又平面，平面，所以∥平面，
又，所以平面∥平面.
（Ⅲ）∴过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，如图，
理由如下：因为∥∥，∴∥平面，平面，设平面平面，
由线面平行的性质定理知∥，所以过作的平行线交分别于，连
接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交
线.
【点睛】
本题考查平面的基本性质，面面平行的判定定理、性质定理，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，是一道中档题.
11．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，可得，，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.
（2）根据题意证出，，由线面垂直的判定定理证出平面，从而可得即为所求线面角，在中即可求解.
【详解】
解：（1）取的中点，则，
所以平面
∵，∴平面
所以平面平面
∵平面
平面.
（2）∵，侧面底面
∴平面
∴
设，则
∴
∵平面，∴平面
∴，∴
∴平面
∴即为所求角
∵，∴，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值是.
【点睛】
本题考查了面面平行的判定定理以及性质定理，考查了线面角，属于立体几何中的基本知识.
12．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直底面，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得，即得平面.同理，得平面，最后根据线面平行证得面面平行平面平面，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由底面，所以底面，所以
试题解析：（1）证明：在平行四边形中，因为，，
所以.
由分别为的中点，得，
所以.
因为侧面底面，且 ，
所以底面.
又因为底面，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为为的中点，分别为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
同理，得平面，又因为，
平面，
平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（3）在中，过作交于点，
由，得，
又因为，所以，
因为底面，所以底面，
所以四棱锥的体积
.
考点：线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
13．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由中位线性质知，根据线面平行的判定可证平面，同理可证平面，再根据面面平行的判定即可证平面平面．
（2）由变换放置前后液体体积不变，由液体所成棱柱的体积相等，即可求液面的高．
【详解】
（1）证明：∵，分别为棱，的中点，
∴是的中位线，即．又平面，平面，
∴平面．同理，平面，又，平面，平面，
∴平面平面．
（2）由（1）可知，当直三棱柱容器的侧面水平放置时，
液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱容器的高，即侧棱长，
当底面水平放置时，设液面的高为，的面积为，
由已知，有且，所以．
由于液体体积前后不变，所以，即．
∴当底面水平放置时，液面的高为．
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据中位线性质、线面平行的判定、面面平行的判定证明面面平行；
（2）应用等体积法，变换放置前后液体的体积不变，求液面高度即可.
14．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；
（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．
【详解】
（I）证明：因为正方形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面平面，
所以.
（II）证明：因为正方形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
因为为等边三角形，是中点，
所以.
因为平面，平面，，
所以平面.
（III）解：由（Ⅰ）知，
则
．
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
答案第1页，共2页
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