第六章立体几何初步5垂直关系5.1直线与平面垂直（Word含解析）

第六章 立体几何初步 5 垂直关系 5.1 直线与平面垂直
一、单选题
1．在四面体中，已知，，是边长为2的等边三角形，那么点到底面的距离是
A．1 B． C．2 D．3
2．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直
3．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
4．若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
5．已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面 所成角的正切值为
A． B． C． D．
6．已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
二、填空题
7．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________．
8．如图所示，在正方体AC1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．
9．设为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，则；
②若且则
③若//，则；
④若// ，则
则上述命题中正确的是_________
三、解答题
10．在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，.
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，，求到平面的距离.
11．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
12．如图，四棱锥中，ABCD为正方形，平面ABCD，，E是PC的中点．
（1）证明：平面BDE；
（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．
13．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，底面，，为的中点，为的中点，．
证明：直线平面；
求异面直线与所成角的余弦值.
14．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为PC上的点，且满足．
（1）求证：平面平面PBC．
（2）求直线PB与平面ADM所成的角的正切值．
15．如图，直角所在的平面垂直于正所在的平面，平面，,分别为的中点，
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
分析：先证明AC与平面ABD垂直，则只要在平面ABD内过D作AB的垂线DO与AB交于点O，则DO的长就是D到平面ABC的距离.
详解：∵AB⊥AC，AC⊥BD，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，∴平面ABC⊥平面ABD，
取AB中点O，连接DO，∵ΔABD是等边三角形，∴DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，
又DO＝，∴D到平面ABC的距离是.
故选B.
点睛：求点平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作二证三算；第二种方法利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三咱方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值.
2．C
【解析】
【分析】
根据面面垂直的性质，α⊥β，在内且垂直于交线，所以n⊥α，即可得解.
【详解】
因为α⊥β，α∩β=l，n β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
由已知在α，β中均可找到一条直线与直线a平行，设m在平面α内，n在平面β内，且m//a，n//a，所以m//n，再由线面平行的判定和性质可得答案.
【详解】
因为直线a//平面α，直线a//平面β，
所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行，
设m在平面α内，n在平面β内，且m//a，n//a，
所以m//n，
又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m//β，
又因为α∩β＝b，m α，所以m//b，
又因为m//a，所以a//b，
故选：B.
4．D
【解析】
【详解】
试题分析：由面面平行的定义知，，则或异面，故A错误；若，当垂直于两个平面的交线时，有，故B错误；空间内垂直于同一条直线的两直线可平行可相交可异面，故C错误，选D．
考点：空间点、线、面位置关系.
5．A
【解析】
【分析】
先通过计算可知点为的中点, 连接与交于点,易证平面,根据直线与平面所成角的定义可知就是直线与平面所成的角,然后在直角中可得.
【详解】
易知；连接，在直角中，可计算；又，所以点是的中点；连接与交于点，易证平面，直线在平面内的射影是，所以就是直线与平面所成的角，在直角中， .
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,属中档题.
6．C
【解析】
【分析】
根据线面平行垂直的判定与性质证明或者举出反例即可．
【详解】
对A，当，时，则或，故A错误；
对B，由题意根据面面平行的判定得或，相交，故B错误；
对C，由题意根据线面垂直的性质可知，又因为，则成立，故C正确；
对D，当为墙角三角形的三个面时,,有，故D错误．
故选：C
7．
【解析】
【分析】
取的中点为，连接，利用已知条件可得，，利用面面垂直的性质定理可得面，进而得到，在中，求解的长即可.
【详解】
取的中点为，连接，
由AB＝AC＝a，∠BAC＝∠BDC＝90°，
可得，，
又平面ABC⊥平面BCD，
面，平面ABC平面BCD，
利用面面垂直的性质定理可得：
面，
又面，
故，
所以在中，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了线面以及面面垂直的性质定理.属于较易题.
8．
【解析】
【详解】
连接BD， AC⊥平面BB1D1D AC⊥DE，所以α＝.
取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面AD1，则β＝∠EDF，cos(α－β)＝cos＝sin ∠EDF＝.
9．②④
【解析】
【分析】
根据平行垂直的判定与性质逐项分析即可.
【详解】
对于① 由于不确定m,n是否相交，所以推不出 ②因为，所以或， 可知必过的一条垂线，所以正确.③若//,可能，推不出 ④//，可推出，所以正确.故填②④.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面垂直，面面平行的判定和性质，属于中档题.
10．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由勾股定理和线面垂直性质可得，，由线面垂直判定定理可证得结论；
（2）利用体积桥的方式，首先求得三棱锥的体积，进而根据可求得所求的距离.
【详解】
（1），，，
平面，平面，，
，平面，平面.
（2）平面，平面，，
四边形为直角梯形，，点到平面的距离等于，
又为中点，，
.
由（1）知：平面，又平面，，
，，
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、点到面的距离的求解问题；求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥的高的求解问题.
11．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先证明，进一步得出结论.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．
【详解】
（1）如图，连接，交于点，连接，
由于四边形是平行四边形，所以是的中点．
因为是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，
根据和都是正三角形，得，．
又平面平面，平面平面，所以平面，于是．
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．
设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．
设二面角的大小为，由图易知为锐角，
则，
因此二面角的余弦值为．
【点睛】
本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．
解题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．
12．（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）连结，设与交于点，连结，易证为的中位线，从而，再利用线面平行的判断定理即可证得平面.
（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE与平面DEC的法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）连接交于，连接
∵底面是正方形，∴为中点，
∵在中，是的中点，∴
∵平面平面，∴在平面
（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，，
，，，
设平面BDE的法向量，
则，即，
令，则，
，
因为，，，
平面，平面，
所以为平面的一个法向量，
，.
由图可知平面BDE与平面DEC的夹角为锐角，
所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值.
【点睛】
思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
13．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，求证平面平面，即可证明
平面；
（2）连接，，由题可得异面直线与所成角即为相交线与所成角，求出的三边长，利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接 ，
在中，为，为；
；
又四边形为菱形，；
；
在中，为，为中点，
；
由于，，，，平面，平面；
平面平面；
；
平面
（2）连接，，由于，则异面直线与所成角即为相交线 与所成角，
由为，则，
由四边形为边长为2的菱形，则，由于，则;
由平面，则， ，；
在中，；
所以异面直线与所成角的余弦值为
【点睛】
本题考查利用面面平行证明线面平面，考查利用三角形的余弦定理求异面直线所成角，属于中档题．
14．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据题意，得到，，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可求解.
（2）由平面，取PB的中点H，连接MH，得到即为直线PB与平面ADM所成的角，在直角中，即可求解.
【详解】
（1）由题意，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，
可得平面，
又由平面，所以，
又因为，且平面，，
所以平面，
又由平面，平面平面.
（2）由（1）知平面，
因为平面，可得，
又因为，所以为PC的中点．
取PB的中点H，连接MH，则，所以，D，M，H共面，
又由平面ADM，可得即为直线PB与平面ADM所成的角．
在直角中，且，，
所以直线PB与平面ADM所成的角的正切值为.
【点睛】
本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及直线与平面所成角的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
15．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明平面来证得.（2）先作出线面角的平面角，解直角三角形求得角的大小.
【详解】
（1）连接，由得到，因为是等边三角形，所以,所以平面，所以.
(2)连接，因为面面，，所以面，而，所以,故四边形为矩形.，故 平面，则为与面所成的角，在中，因为，，故.
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求解方法，考查数形结合的思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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