第六章立体几何初步6简单几何体的再认识6.2柱、锥、台的体积（Word含解析）

第六章 立体几何初步 6 简单几何体的再认识 6.2 柱、锥、台的体积
一、单选题
1．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是
A．4 B． C． D．2
2．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为的中点，则平面截四棱锥上下两部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是．
A． B．2 C． D．6
5．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若这个三棱柱的体积为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．以下三视图对应几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆的一部分，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图所示，三棱柱中，若E、F分别为的中点，平面将三棱柱分成体积为和两部分，那么______.
9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.
10．2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹篾或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”（如图），一部分学生学习制作泥塑几何体，现有一个棱长为的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点，，，，，，将正方体削成正八面体形状泥块，若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块，使得正八面体形状泥块可以在“灯罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯罩斗笠”的表面积的最小值为___________.
11．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是__________．
12．圆台的轴截面上 下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.
三、解答题
13．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.
(1)求圆锥SO的侧面积；
(2)若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）
14．如图所示，已知三棱柱，侧面为菱形，侧面为正方形，侧面侧面.
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积.
15．如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求四棱锥的体积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥，其中C点为中点，该几何体的体积为：.
本题选择B选项.
2．D
【解析】
【分析】
设平面交棱于，由题得，，即得，即求.
【详解】
如图，设平面交棱于，连接，，
∵四边形为平行四边形，
∴AB∥CD，平面PCD，平面PCD，
∴AB∥平面PCD，平面ABEF平面PCD=EF，平面ABEF，
所以AB∥EF，EF∥CD，又为的中点，
∴为的中点，
则，
，
，
所以，
故平面截四棱锥上下两部分的体积之比为.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
利用三角形的中位线，可得为异面直线PA与BC所成的角，再由题条件可得是正三角形，即求.
【详解】
如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，
因为是等腰直角三角形，，
设圆锥的底面圆半径，
则，，
则且，
又且，
而且，
所以为异面直线PA与BC所成的角，
在中，因为E为PC的中点，
所以，
所以是正三角形，
即异面直线PA与BC所成的角为.
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由长方体的三个面的面积分别是，列
出方程组求出a，b，c，由此能求出长方体的体积．
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
∵长方体的三个面的面积分别是，
∴，解得a，b．c＝1．
∴长方体的体积V＝abc，
故答案为
【点睛】
本题考查长方体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合
理运用．
5．C
【解析】
“堑堵”的外接球的球心如图所示，由题意可得，由柱体的体积公式求出直棱柱的高，即可求出外接球的半径及表面积.
【详解】
解：“堑堵”的外接球的球心如图所示，
，，
设外接圆圆心为，
由三棱柱的体积为，，
在中，设该球的半径为，则有，
所以，；
故选：.
【点睛】
本题考查棱柱的体积计算，柱体的外接球的表面积计算，属于中档题.
6．B
【解析】
【分析】
根据三视图判断空间几何体的形状，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】
如图所示，在各棱长都为3的正三棱柱中，D，E是上的两个三等分点，则三视图对应的几何体为三棱柱割去三棱锥和，所以体积为．
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
几何体为圆柱被轴截面切掉的图形，根据圆柱体积的计算公式即可求解.
【详解】
解：几何体为圆柱被轴截面切掉的图形，其体积等于圆柱体积的一半，
圆柱的底面半径为1，高为2，
所以该几何体的体积.
故选：C.
8．7:5
【解析】
【分析】
设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则，其中是棱台部分的体积，利用棱台的体积公式计算可得，即得解
【详解】
设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则．
∵E,F分别为AB,AC的中点，
∴，
，
，
∴．
故答案为：7:5
9．
【解析】
首先分析“几何度量”是体积，分析的体积和长方体的体积关系，并求其概率.
【详解】
因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，
故所求概率为＝.
故答案为：
【点睛】
本题考查几何概型的计算，意在考查等体积转化和计算能力，属于基础题型.
10．
【解析】
【分析】
由题意，只需正八面体形状泥块位于圆锥的内切球内即可.
【详解】
如图所示：
设正方体的中心满足，
则几何体的外接球的球心为，半径为.
当“灯罩斗笠”的表面积最小时，
正八面体形状泥块的外接球即为圆锥的内切球，
故圆锥的底面圆的半径，
所以该“灯罩斗笠”的表面积的最小值为.
故答案为：
11．
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个三棱柱构成，根据椎体和柱体的体积公式计算它们的体积，然后相加.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个三棱柱构成，故体积为.
【点睛】
本小题主要考查三视图的识别，考查柱体和椎体的体积计算公式.属于基础题，代入公式可得到计算的结果.
12．
【解析】
【分析】
根据圆台的轴截面的长度关系，可得到，代入圆台的体积公式，即得解
【详解】
如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于
由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此
由圆台的体积公式，
其中，
故答案为：
13．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可
（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得
(1)
根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径
可得：
则圆锥的侧面积为：
(2)
如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线
则有：，，
易知，则，
又直径AB与直径CD垂直，则
则有：为二面角
可得：
又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为
故二面角大小为
14．(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）先由面面垂直的性质定理得到平面，可得，再推导出A1B⊥AB1，由此能证明A1B⊥平面AB1C．
（2）利用等体积法转化求解即可．
【详解】
（1）因为侧面 侧面，侧面为正方形，所以平面，,又侧面为菱形，所以，所以平面
（2）因为，所以，平面，所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，平面，所以为三棱锥的高，因为，,
所以
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查锥体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
15．（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）要证平面平面，只需证明平面，即可求得答案；
（2）由（1）可知，，即，可得，结合已知，根据椎体体积公式，即可求得答案.
【详解】
（1）为平行四边形.
且
，
点为的中点
，
，，
又底面，
得
，平面
平面
又平面，
平面平面
（2）由（1）可知
，即，
又由题可知，
又由底面，平面，
可得，
平面，
又
点到平面的距离为，
【点睛】
本题主要考查了求证面面垂直和求椎体体积，解题关键是掌握面面垂直判断定理和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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