第六章立体几何初步6简单几何体的再认识6.3球的表面积和体积（Word含解析）

第六章 立体几何初步 6 简单几何体的再认识 6.3 球的表面积和体积
一、单选题
1．已知体积为的三棱锥的顶点， ，都在球的表面上，且，，，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于
A．576 B．288 C．144 D．72
3．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的面上的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
4．在正方形中，，是中点，将和分别沿若、翻折，使得、两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是
A． B． C． D．
5．设长方体的长、宽、高分别为，a，a，其顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．四棱锥的三视图如图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是
A． B． C．8 D．12
8．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球表面积之比为_______.
10．设计一个蒙古包型的仓库，它由上 下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱（如图所示），圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是，则该仓库的最大容积是___________.
11．如图，直线是互相垂直的异面直线和的公垂线，若，，则四面体的体积的最大值为_________.
三、解答题
12．某长方体的长、宽、高分别为，，，求该长方体的体积与其外接球的体积之比.
13．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，，求点到平面的距离.
14．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径.
（1）计算球的表面积和体积；
（2）若是截面小圆上一点，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）.
15．在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别为和，求这个球的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由已知得出底面是直角三角形，球心在底面的射影是斜边中点，所以、、构成直角三角形，勾股定理求出半径，从而得到表面积.
【详解】
因为，所以是直角三角形，
可得在底面的射影为外心，即边中点，设为，
，
，所以
设球的半径为，由勾股定理得
，
所以球的表面积.
故选：.
【点睛】
本题考查了棱锥的体积、球的表面积.
2．B
【解析】
【分析】
求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．
【详解】
由球的体积为，可得 设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，
由题意可知 ，长方体的表面积为： ；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．
故选B.．
【点睛】
本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A，故选B.
考点：投影问题.
4．B
【解析】
【分析】
根据题意，作出翻折后的几何体，取中点，记外接圆圆心为，过点作平面，由题中条件得到，记几何体外接球球心为，连接，得到，再由题中数据，即可求出外接球半径，从而可得出球的表面积.
【详解】
由题意，作出翻折后的几何体如图所示：
取中点，记外接圆圆心为，
因为在正方形中，，所以翻折后，为等边三角形，
则外接圆圆心即是重心，
所以三点共线，且；
过点作平面，记所求几何体外接球球心为，外接球半径为，
则球心在直线上，连接，则
又，，所以翻折后，，，
所以平面，因此，
又，所以是等腰三角形，
易得，
所以，
故所求外接球表面积为.
故选B
【点睛】
本题主要考查几何体外接球的表面积问题，熟记三棱锥的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.
5．B
【解析】
【分析】
由长方体的性质，可求其外接球的直径(或半径)，应用球体的表面积公式，求表面积即可.
【详解】
由题意知：球体的直径为，
∴球的表面积.
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
由三视图画出直观图，有两个三角形，则必为锥体，底面为正方形，故而原图为一条侧棱垂直底面的四棱锥，进而可以将其补全为一个正方体再来求外接球的半径，即可求解.
【详解】
将三视图还原为直观图，可得四棱锥，
将其放入棱长为的正方体，如图，
则四棱锥与该正方体内接于同一个球，
所以
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查了四棱锥及其外接球，考查了正方体及其外接球，球的面积公式，三视图，属于中档题.
7．C
【解析】
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为．
故选C.
8．A
【解析】
通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.
【详解】
解：因为，，，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.
故选：
【点睛】
本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.
9．
【解析】
【详解】
试题分析：根据三视图可知，该空间几何体是由两个全等的正四棱锥倒立相接而成（中间为原正四棱锥的底面），并且正四棱锥的高为，底面边长为1，则可计算出正四棱锥的斜高为，所以该空间几何体的表面积为，而该空间几何体的外接球的半径为原来正四棱锥的高度，所以该空间几何体的外接球的表面积为，所以两表面积之比为：.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积的计算.
10．
【解析】
【分析】
设圆锥的母线与轴的夹角为，则，利用换元法和导数可求最大值.
【详解】
设圆锥的母线与轴的夹角为，则圆锥的底面半径为，高为，
则仓库的容积为：
，，
令，，
则，，时，，时，，
所以时，取最大值，此时取最大值.
故答案为：.
11．
【解析】
【分析】
证明平面，设，计算各线段长度得到，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
根据题意：，，，故平面，
平面，则，设，
则，，，
，
当，即时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用均值不等式求三棱锥的体积的最大值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12．
【解析】
【分析】
根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.
【详解】
因为长方体的长、宽、高分别为，，，
所以其体积为；
其外接球直径为，故；
所以其外接球体积为，
因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为.
【点睛】
本题主要考查棱柱的体积及其外接球的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.
13．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，分别连接，可知，，则平面，从而可证线面垂直.
（2）以 为高，为底面，可求出三棱锥 的体积；求出再由 ，可求出点到平面的距离.
【详解】
（1）取的中点，分别连接.因为为等边三角形，且，
所以.因为，，所以为等边三角形，
所以.又，平面，所以平面.
又平面，故，即.
（2）由题设知与都是边长为的等边三角形，所以.
又，则，故.
又，，平面,所以平面.
所以.
因为，，所以，所以.
设点到平面的距离为，则，所以.
【点睛】
本题考查了线线垂直的判定，考查了点到平面的距离求解，考查了椎体体积.证明线线垂直时，可通过勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直、线面垂直的性质来证明.求点到平面的距离时，通常是转化为高，结合几何体的体积进行求解.
14．（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积和体积（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．
【详解】
（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，
在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，
由勾股定理知，AO=5，
球O的表面积为：，
体积.
（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，
连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，
由余弦定理知：
，
，
异面直线AC与MN所成的角为．
【点睛】
本题主要考查了球的表面积，以及异面直线及其所成角和余弦定理的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．
15．
【解析】
【分析】
求出两个平行圆截面的半径，根据勾股定理以及圆的性质确定球的半径，结合球的表面积公式计算即可.
【详解】
作过球心的截面，如图所示．
是球的大圆，，分别是两个平行圆截面的直径．过点O作于点C，交于点D．
，．
根据圆的性质知，C，D分别是，的中点．
设两个平行圆截面的半径分别为，，且．
依题意，有，，解得，．
设球的半径为R．
，，．
，①
或．②
由方程①，解得．方程②无解．
故．
【点睛】
有关球的问题，作大圆截面和小圆截面是两种常用的辅助平面，也是把球问题化归为平面图形来解决的基本途径．涉及两个平行截面的问题，需考虑两个平行截面与圆心的相对位置只有一种可能，还是有两种可能（球心的异侧、同侧）．
答案第1页，共2页
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