第四章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系（Word含解析）

第四章 三角恒等变换 1 同角三角函数的基本关系
一、单选题
1．已知，则（ ）．A． B． C．1 D．
2．若角满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若为第三象限角，则的值为
A． B． C． D．
二、双空题
5．已知，则_____，_____
三、填空题
6．已知，则的结果为_____________________．
7．在平面直角坐标系中，若曲线与在上交点的横坐标为，则的值为___________．
8．已知，则____________.
四、解答题
9．已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.
（1）求角.
（2）若，求.
10．已知，．求证：．
11．求证:
(1)
(2)
12．已知函数 .
（1）当有是实数解时，求实数的取值范围；
（2）若，对一切恒成立，求实数的取值范围.
13．，，分别为内角，，的对边，已知.
（1）若，，求的面积.
（2）证明：.
14．已知，，且、是方程的两个根，求的值．
15．设向量，为锐角．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值
16．已知，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
17．求证：．
18．如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．
（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
分子分母同时除以，弦化切后，代入即可得到答案.
【详解】
因为，
所以，
故选：A
【点睛】
本题考查了利用同角公式中的商数关系式，弦化切是解题关键，属于基础题.
2．B
【解析】
由题意可得，结合平方关系可得，从而得到，，再根据诱导公式，即可得解.
【详解】
解：由得又，代入解得，即，，
则．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，即可求解．
【详解】
因为，
所以，
故选：C
4．B
【解析】
【详解】
因为为第三象限角，所以．所以.
考点：三角函数求值问题.
5．
【解析】
【分析】
由题意结合同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式、二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以；
.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系、三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
根据，由求解.
【详解】
，
而，
，
，
，
，
故答案为：
7．
【解析】
【分析】
联立方程组，根据，得到，再利用三角函数的基本关系式和正弦的二倍角公式，即可求解.
【详解】
由题意，可得：，解得，
又，所以，
又，解得，
所以.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．或
【解析】
【分析】
将已知条件两边同时平方结合同角三角函数基本关系可得，再计算的值，进而可得的值，由平方差公式计算即可求解.
【详解】
由可得，
即，所以，
可得，
所以，
所以
所以，
故答案为：或.
9．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据韦达定理得出，然后与联立，解得的值和的值，最后将的值代入中检验，即可得出结果；
（2）本题可通过同角三角函数关系将转化为，求出的值，然后通过即可得出结果.
【详解】
（1）因为、是方程的两根，
所以，
因为，所以，
即，解得（舍去）或，或，
将或代入中易知当时不成立，
故.
（2），即，
，，解得或，
因为，所以，
故.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查同角三角函数关系的应用，考查通过构造正、余弦齐次式解决三角函数问题，考查韦达定理的应用，在得出结果时要注意检验，考查计算能力，是中档题.
10．证明见解析
【解析】
【分析】
由切化弦，可将等式左边化为，再通分即可证与右边相等.
【详解】
∵，，
∴且，
，得证.
11．(1)证明见解析 (2) 证明见解析
【解析】
（1）利用平方差公式，从左边开始证明，利用证明等式.
（2）从左边证明，原式，同样利用证明等式.
【详解】
（1）证明：左边右边.
（2）证明：左边
右边.
【点睛】
本题考查三角函数的简单证明，主要考查公式的应用，属于简单题型.
12．（1）；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由题意可知实数的取值范围为函数的值域，结合三角函数的范围和二次函数的性质可知时函数取得最小值，当时函数取得最大值，实数的取值范围是.
（2）由题意可得时函数取得最大值，当时函数取得最小值，原问题等价于，求解不等式组可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）因为，可化得，
若方程有解只需实数的取值范围为函数的值域，
而，又因为，
当时函数取得最小值，
当时函数取得最大值，
故实数的取值范围是.
（2）由，
当时函数取得最大值，
当时函数取得最小值，
故对一切恒成立只需，解得，
所以实数的取值范围是.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
13．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得，利用余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系得出，结合三角形面积公式即可.
(2)利用正弦定理、余弦定理和同角三角基本关系式化简即可证明.
【详解】
(1)因为，，所以.
解得，则，所以，
故的面积.
(2)因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
故.
14．
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出，，结合的范围，确定所在象限，根据两角和的正切公式，求解即可.
【详解】
解：由题意知，
∴
又，
∴，
∴
∵
∴
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，涉及了根与系数关系的应用，属于中档题.
15．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行的坐标关系，即可求解.
（2）结合平面向量数量积的坐标运算，代入可求得，由同角三角函数关系式的变形应用，即可求解.
【详解】
（1）∵，且
∴，
∴．
（2）因为，
所以，
所以
又因为为锐角，所以．
【点睛】
本题考查了平面向量平行的坐标关系，平面向量数量积的坐标应用，同角三角函数关系式的化简应用，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案.
【详解】
（1）因为，所以.
（2），，
，
，，
.
又，
，
.
【点睛】
本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题.
17．证明见解析．
【解析】
【分析】
方法一：从左边往右边证：等号左边切化弦整理，逆用二倍角的余弦公式即可得出结论．
方法二：从右边往左边证：等号右边利用二倍角的余弦公式以及同角的商数关系整理变形即可得出结论．
【详解】
方法一：左边右边．故原式得证．
方法二：右边左边．故原式得证．
18．(1)；(2)．
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由点F与G的位置探求的最大、最小值得解；
(2)利用(1)的结论，令结合同角公式变形成关于t的分式函数，再借助单调性求解即得.
【详解】
(1)在中，则，又，即有，
同理有，
显然为锐角，
因此，，
因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，
当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，
所以；
(2)由(1)知，令，则，
因，则，，
于是得，又，
则，因在上单调递减，当，即时，，
当，即或时，，
所以.
【点睛】
思路点睛：同角三角函数的基本关系中，使用平方关系时注意方程思想的应用，对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二．
答案第1页，共2页
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