第四章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式2.1两角和与差的余弦公式及其应用（同步 word版含解析）

第四章 三角恒等变换 2 两角和与差的三角函数公式 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
一、单选题
1．=
A． B． C． D．
2．实数x，y满足条件则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则=
A． B．- C． D．-
4．已知平面直角坐标系中，角的始边与正半轴重合，终边与单位圆交于点.若角在第一象限，且.将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象与 轴的两个相邻交点分别为中在 的右边)，曲线上任意一点关于点的对称点分别且，且当 时，有.记函数的导函数为，则当时， 的值为
A． B． C． D．1
二、填空题
9．在三角形中，,,是的中点，设.当时，____________.
10．已知，，则___________.
11．已知，则_____．
12．在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为_____.
13．已知且．求_________.
三、解答题
14．已知角θ满足，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
15．已知.
（1）求的值.
（2）求的值.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式直接得到答案.
【详解】
故答案选A
【点睛】
本题考查了诱导公式，属于基础题型.
2．C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，
由，解得，目标函数化为，当目标函数过点A时，z取得最小值，
所以的取值范围是，
故选：C．
3．D
【解析】
【详解】
，，，
∴，
那么，
故选D.
4．C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，，再利用正弦和余弦两角和公式求解即可.
【详解】
因为在第一象限，且，所以，，
，
.
所以点的坐标为.
故选：C
5．A
【解析】
由条件利用两角和的余弦公式，化简所给的式子为cos60°，从而求得结果．
【详解】
cos（20°+40°）= cos60°＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．
6．A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案.
【详解】
，，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，考查了运算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，根据函数在区间上单调递增，则在上恒成立，再结合正弦函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：由题意得：，
∵在上单调递增，∴在上恒成立，又，
∴在上恒成立，当时，，
∴，∴，∴，解得：.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
由求得周期，从而求出，由 时，有求出，对求导，利用辅助角公式可得结果.
【详解】
设，则，
，，
，，
由得，
，
，
，故选A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角函数求值问题，属于难题. 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
9．
【解析】
【分析】
由正弦定理得，，由此能
sinβ，cosβ，tanα＝sin∠BAC＝sin（α+β）得cosα，sinα，从而得到cos∠BAC，由此利用余弦定理能求出BC．
【详解】
∵在△ABC中，AB＝2，AC＝4，是的中点，记∠CAD＝α，∠BAD＝β，
∴，，
∴sin，sin＝CDsin∠ADC，
∵BD＝CD，sin∠ADB＝sin∠ADC，
∴sinα：sinβ＝：CDsin∠ADC2：1．
即得sinβ，cosβ，
∴tanα＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
＝sinα，
∴，
∴cos2α+cosα2，解得cosα，或cosα（舍），sinα，
∴sin∠BAC，cos∠BAC，
∴BC．
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形边长的求法，解题时要认真审题运算，注意正弦定理和余弦定理的合理运用,是中档题.
10．-7
【解析】
【分析】
根据，，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加 、相减分别得到、，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为，，
所以，
两式相加得：，
两式相减得：，
所以，
故答案为：-7
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．
【解析】
由已知结合诱导公式及同角平方关系进行化简即可求解．
【详解】
因为，
所以,又，
所以，
则＝
,
故答案为：．
【点睛】
本题考查诱导公式的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
12．.
【解析】
【详解】
试题分析：∵，∴，∴，
设外接圆的半径为，则，∴，
∴
，故的最大值为.
考点：1.正余弦定理的运用；2.三角恒等变形.
13．
【解析】
【分析】
先求出sin
【详解】
因为
，
所以.
故答案为.
【点睛】
(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到，否则会出现双解.
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
由题设，利用和角正切公式求得，
（1）利用二倍角正余弦公式化简三角函数式，进而化切即可求值.
（2）应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的平方关系，并将弦化切，即可求值.
【详解】
，解得.
（1）.
（2）.
15．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合同角三角函数关系得，再根据二倍角公式计算即可；
（2）由题知，进而根据余弦的和角公式求解即可.
【详解】
解：（1）.且，
，
.
（1），
，
又，
.
16．（1）；（2）.
【解析】
（1）先根据求得的值，再由得到，根据两角和与差的公式可求得即可；
（2）由可求得的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由可求出a，c的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.
【详解】
解：（1）因为，，所以.
由已知得.
所以.
（2）由（1）知，所以且.
由正弦定理得.又因为，所以，.
所以.
【点睛】
本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.
答案第1页，共2页
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