第四章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式2.3三角函数的叠加及其应用（Word含解析）

第四章 三角恒等变换 2 两角和与差的三角函数公式 2.3 三角函数的叠加及其应用
一、单选题
1．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A． B．1＋ C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
2．已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件
3．函数，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；④若，则的值域是，其中，正确的命题的序号是
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
4．（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于
A．－ B． C．－ D．
7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈，则α＋β等于(　　)A． B．－
C．或－ D．或－
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知为锐角内角的对边,且满足,则的取值范围是______.
10．已知函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则__________.
11．将化为的形式为___________.
12．__________．
三、解答题
13．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，
(1)求sin(75°＋α) 的值．
(2）求cos(α－15°) 的值．
(3)求sin(195°－α)+cos(105o－α)的值．
14．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
15．已知，则
（1）；
（2）.
16．已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
18．已知,且,求的值.
19．在三角形中，角所对应的边分别为，若且均为整数.
（1）求的值；
（2）求证：
20．已知，其中是第四象限角.
（1）化简；
（2）若，求,.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
,故选C
2．C
【解析】
【分析】
由诱导公式和二倍角公式化简函数式，然后由正弦函数的单调性求得范围后，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
∵，
由“函数在上单调递增”，可得：，
，解得，是的真子集，
所以由“函数在上单调递增”是的充分不必要条件.
故选：C.
3．A
【解析】
【详解】
试题分析：，当时，，则函数在区间上是减函数，即①正确，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，即②正确，因为，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，即③错误，当时，，则函数，即④错误；故选A．
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质．
4．A
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式以及诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】
原式.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用两角和的正切公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将化简，再把分母看做，分子分母同时除以，即可求得.
【详解】
，得，
.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是诱导公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.
6．D
【解析】
【详解】
∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin 2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝＝.
7．B
【解析】
【分析】
由韦达定理得到与的和与积，之后应用两角和的正切公式求得的值，根据其大小进一步确定角的范围，最后求得的值.
【详解】
依题意有
∴tan(α＋β)＝＝ ＝1.
又
∴tanα＜0且tanβ＜0.
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.
【点睛】
该题考查的是有关根据三角函数值求角的大小的问题，涉及到的知识点有韦达定理，两角和的正切公式，在解题的过程中，需要根据其符号进一步缩小角的范围，最后求得结果.
8．B
【解析】
【分析】
已知等式左边利用诱导公式化简求出的值，原式利用诱导公式化简后将的值代入计算即可求出值.
【详解】
故选：B
【点睛】
诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简求值，一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→的三角函数→锐角的三角函数.
9．
【解析】
和余弦定理相似,从而先用余弦定理得出条件,再用正弦定理和条件是锐角得出角之间的关系,求得范围,,由利用余弦函数的性质可得,即可求解答案.
【详解】
由余弦定理得,
,①
由正弦定理得,
,
,
又为锐角三角形,
,可得:,
,
,
,
,即
故
由①可得.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了余弦定理、正弦定理的应用,三角恒等变换,以及三角形的性质,考查了转化思想和函数思想,属于中档题.
10．2
【解析】
【分析】
先根据左右平移不改变最值求得，再根据三角函数平移规律得出平移后函数，从而可列出关于等量关系，再由同一三角函数商的关系得出，从而得出，最后根据两角差正切公式即可求得结果.
【详解】
解：因为左右平移不改变最值，即与的最值相同，
则，所以，，
因为向右平移个单位得到：
，
而，
所以，
则，即，
从而.
故答案为：2.
11．
【解析】
【分析】
利用辅助角公式进行化简，由此求得正确结果.
【详解】
依题意，
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查辅助角公式，属于基础题.
12．8
【解析】
【详解】
注意到可化为.项证明一般结论如下：，由于，故原式.
13．（1）；（2）;(3).
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由，是第三象限角，可得是第四象限角，根据同角三角函数之间的关系求解即可；（2）直接根据诱导公式可得结果；(3)根据诱导公式结合（2）的结论可得结果.
试题解析：（1）∵cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，
∴75°＋α是第四象限角，
且sin(75°＋α)＝－＝－.
（2）cos(α－15°)= cos[90°－(75°＋α)]= sin(75°＋α)= －
(3)∴sin(195°－α) +cos(105o－α)
＝sin[180°＋(15°－α)]+cos[180o o－(75°＋α)]
＝－sin(15°－α) －cos(75°＋α)
＝－sin[90°－(75°＋α)] －cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝.
14．（1）－cosα（2）
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式化简得结果，（2）先代入条件得sinα值，再根据平方关系得cosα，即得结果.
【详解】
(1)f(α)＝
＝＝－cosα.
(2)因为α是第三象限角，且cos＝－sinα＝，sinα＝－.所以cosα＝－＝－＝－.所以f(α)＝－cosα＝.
【点睛】
本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.
15．（1）-1
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的基本关系式，分子分母同除，得到原式，即可求解；
（2）根据三角函数的基本关系式，分子分母同除，得到原式，即可求解；
【详解】
由题意，知，
（1）根据三角函数的基本关系式，可得
.
（2）根据三角函数的基本关系式，可得
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，化简为关于的式子是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正切公式计算可得；
（2）由（1），利用同角三角函数的基本关系求出、、，再用二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】
解：（1）因为
所以，
即，
解得或，
因为，所以.
（2）由（1），
所以，
又，，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
，
所以.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换的公式的应用，属于基础题.
17．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可；
（2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可．
【详解】
（1）．
．
（2）因为
，
所以．
因为是第四象限角，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题．
18．
【解析】
设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号.
【详解】
设,,那么,从而.
于是.因为,
所以.由,得.
所以,
所以.
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度的整体代换，三角函数在各个象限的符号.
19．（1）1；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先判断出且，由均为整数，可得：
（2）由判断出，分和两种情况讨论.
【详解】
解：（1）在中，均为整数，
，且，
最小，当，且
，在之间的角的正切值且为整数，
而
（2），
，
若，
此时；
若，不合题意，舍去.
【点睛】
利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
20．（1）;（2），
【解析】
【分析】
（1）由,,可将原式的根号去掉,然后结合是第四象限角,可对原式进行化简;
（2）结合（1）可求得的值,进而可求得,.
【详解】
（1） ,
∵是第四象限角,∴，又,
∴.
（2）由（1）知,又,∴,
即,解得,
∵是第四象限角,∴,
∴.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简与求值,熟练运用同角三角函数关系是解题的关键,属于基础题.
答案第1页，共2页
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