第四章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式2.4积化和差与和差化积公式（Word含解析）

第四章 三角恒等变换 2 两角和与差的三角函数公式 2.4 积化和差与和差化积公式
一、单选题
1．在极坐标系中，曲线关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称 C．点对称 D．极点对称
2．在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．如图，在平面四边形中，，，.将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （ ）
A． B． C． D．
5．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为.其中正确结论的编号为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题
6．命题“，使得”的否定是_____．
三、解答题
7．已知中，，，，C在x轴上，点P是BC边上一动点，点A关于P的对称点为D.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）当P与不重合时，求四边形ABDC的面积.
8．已知函数，
（1）求单调增区间；
（2）求取什么值时，函数最大，并求出最大值
9．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点.
(1)求的值；
(2)若第一象限角满足，求的值.
10．已知函数，．
（1）求曲线的对称中心；
（2）在锐角三角形中，，，分别是内角，，的对边，且．若恒成立，求实数的最小值．
11．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大值、最小值的x的集合：
（1）；
（2）.
12．设，且，试求的值.
13．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为，，，.
（1）求的最大值及的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值.
14．若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
由，得直角坐标方程： ，圆心为 ，又因为直线即： 过点，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线，即：，又因为，化简得曲线的直角坐标方程： ，故圆心为 .
又因为直线,直角坐标方程为： ，直线过点，故曲线关于直线对称
故选：A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
2．B
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，再由，可得，从而可得，进而可得结论
【详解】
解：因为，
所以由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
由题意找出外接球的直径，根据体积公式求解即可.
【详解】
如图，因为平面平面，，
则平面，从而，
因为，则平面，
从而，所以是外接球的直径，
在中，，
则球的半径，
所以外接球的体积为.
故选：B
【点睛】
本题考查了多面体的外接球问题，同时考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，解题的关键是找出外接球的半径，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
令，由x[-，]可得，再由函数的单调性即可解出．
【详解】
令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是．
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
根据偶函数和周期函数的定义判断可知①②正确；当时，化简的解析式，根据正弦函数的单调性可知③正确；求出函数在上的值域，可知④不正确.
【详解】
函数的定义域为，由，
∴是偶函数，①正确；
，
∴是周期为的函数，②正确；
当时，，，
则在区间上单调递减，③正确；
当时，，，
当时，，，
又由②知是周期为的函数，∴的值域为，其最大值为，④不正确.
故选A.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性、最值是解题关键.
6．
【解析】
【详解】
试题分析：因为命题“”的否定是“”，所以命题“，使得”的否定是
考点：命题的否定
7．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，由求得，结合，即得解；
（2）由，利用两点间距离公式，即得解
【详解】
（1）不妨设
因为，所以，
解得，所以.
则直线BC的方程为，即，整理得；
（2）因为点A关于P的对称点为D，
故
8．（1）；（2）当时，函数最大值为1.
【解析】
（1）化简函数，根据三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）知，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
当，即时，函数取得最大值，最大值为1.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）可使用已知条件，表示出，然后利用诱导公式、和差公式和二倍角公式对要求解的式子进行化简，带入即可求解；
（2）可根据和的值，结合和的范围，判定出的范围，然后计算出的值，将要求的借助使用和差公式展开即可求解.
(1)
角的终边经过点，所以.
所以.
(2)
由条件可知为第一象限角.又为第一象限角，，所以为第二象限角，
由得，
由，
得
.
10．（1），；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦函数的性质求解即可；
（2）由求出，利用正弦定理得出，由结合正弦函数的性质得出实数的最小值.
【详解】
（1）由题意，得．
令，，得，
∴曲线的对称中心为，．
（2），即
是锐角三角形的内角，∴，∴．
由正弦定理得
．
在锐角三角形中，，解得，
∴，∴．
得，∴，即实数的最小值为2．
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质及利用正弦定理解三角形，属于中档题.
11．答案见解析
【解析】
【分析】
利用正弦函数和余弦函数的性质可得答案.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，函数有最大值5；
当时，函数有最小值1；
（1）因为，所以，
当，即时，函数有最大值2；
当，即时，函数有最小值-2；
12．
【解析】
观察角度的关系，根据先计算，在利用二倍角公式计算即可.
【详解】
解 .
由，得.
由，得.
.
.
【点睛】
解题过程中，常常要用到角的变换的基本方法，如；既是的二倍角，又是的半角；是的半角等，在选择合适的三角函数公式求解.属于中等题.
13．（Ⅰ）的最大值为１６，及的取值范围0＜；（Ⅱ）最大值为３，最小值为２.
【解析】
【详解】
本试题主要是考查了三角函数的变换以及三角形中余弦定理的运用，以及均值不等式的综合运用．
（1）直接利用余弦定理得到三边的关系，进而结合不等式的性质得到最值．
（2）根据函数关系式，结合三角函数的性质得到最值
14．(1)或
(2)
(3)见详解.
【解析】
【分析】
（1）代入，解三角方程即可.
（2）左边打开，整理成的方程，用辅助角公式后，再由三角函数的最值建立不等式关系求解.
（3）探求的范围，构造z，再运用“余弦相关”的性质证明.
(1)
代入得，，，
，又，或
(2)
由得
，
，
，
故，
，，
(3)
证明：先证明，
反证法，假设，
则由余弦函数的单调性可知，
，，
同理，相加得，与假设矛盾，故.
，且
故也是余弦相关的，
，即.
记则.
,
，故x z为“余弦相关”的；
同理y z也为“余弦相关”的
【点睛】
新定义题解题思路：
（1）紧扣新定义，运用已有相关知识，寻找新概念的性质，一般完成好1、2问就会有新的认识理解；
（2）充分理解的基础上，构造对象“”是解题的关键.
答案第1页，共2页
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