第五章复数1复数的概念及其几何意义1.1复数的概念（Word含解析）

第五章 复数 1 复数的概念及其几何意义 1.1 复数的概念
一、单选题
1．已知复数的实部和虚部相等，则（ ）
A．-1 B．1
C．2 D．-2
2．已知0＜a＜2，复数（i是虚数单位），则的取值范围是
A． B．（1,5） C．（1,3） D．
3．设为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知复数，则复数 的虚部为______
6．已知，，，是虚数单位，则______．
7．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝______.
8．设复数满足（是虚数单位），则的实部是_________
9．下列命题，是真命题的有___________
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④实数集相对复数集的补集是虚数集.
10．如果1-2i是关于的实系数方程的一个根，其中i是虚数单位，则______．
11．有下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a>b，则a＋i>b＋i；③若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④若实数a与复数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是______.
12．复数的实部为______．
13．已知，则__________．
14．已知，则在复平面内，复数对应的点位于第_____ 象限.
三、解答题
15．已知a为实数，复数z1＝2－i，z2＝a＋i(i为虚数单位)．
（1）若a＝1，指出在复平面内对应的点所在的象限；
（2）若z1·z2为纯虚数，求a的值．
16．已知，虚数的模为1时，求的取值范围．
17．设是虚数，是实数，且.
（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证：为纯虚数.
18．已知，关于的方程有实根，求复数的模的最小值．
19．已知复数，，且．
（1）若且，求x的值；
（2）设．
①求的最小正周期和单调递增区间；
②已知当时，，试求的值．
20．已知是虚数单位，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.
21．实数x取什么值时，复数是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
22．已知命题：复数，复数，是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于；若为真命题，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
化简复数,求出其实部,虚部,列式求解即可.
【详解】
,
因为复数的实部和虚部相等,
所以,即,
故选:B.
【点睛】
本题考查复数,属于简单题.
2．D
【解析】
【详解】
试题分析：∵，而，即，∴，故选D .
考点：复数的模.
3．A
【解析】
【分析】
化简复数，在确定复数的虚部.
【详解】
解：由题意，，
所以虚部是2.
故选: A
【点睛】
本题考查复数的虚部，注意复数的虚部是虚部单位前的实数.
4．B
【解析】
【详解】
试题分析：为将复数所对应的点逆时针旋转得，选B.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为
5．3
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，计算出复数的值，然后求出复数的共轭复数，最后写出的虚部.
【详解】
，
，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
6．
【解析】
【分析】
等式等价于，根据复数相等的定义解得的值，再根据复数模的定义可解得．
【详解】
由可得，
则，解得，所以．
【点睛】
本题考查了复数模的定义和复数相等的定义，两个复数相等，则它们的实部与虚部分别对应相等．
7．i
【解析】
【详解】
解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
解法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1 |z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
考点：复数的有关概念.
8．1
【解析】
【详解】
设z=a+bi(a、b为实数)，i(z＋1)=i(a+1+bi)=-b+(a+1)i=-3+2i,
因此b="3,a+1=2," 则z的实部a=1.
9．④
【解析】
【分析】
举例说明①③错误；由两复数相等的充要条件说明②错误；由集合间的关系说明④正确.
【详解】
解：对于①，若两个复数为实数，则能比较大小，故①错误；
对于②，当且仅当x，y∈R，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故②错误；
对于③，当a=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误；
对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确.
故答案为：④.
10．-10
【解析】
【分析】
把1-2i代入方程，利用复数相等的条件，求出，即可求解
【详解】
1-2i是关于的实系数方程的一个根
所以，即，
所以，解得，
故答案为：.
11．③.
【解析】
【详解】
分析：根据复数的概念解答即可.
详解：①若，则，①错误；②两个复数一般不能比较大小，②错误；③根据复数相等的定义，③正确；④根据这个对应，没有纯虚数与实数集中的0对应，④错误.
故答案为③.
点睛：本题考查复数的概念，掌握复数概念与解题关键，本题属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．
【详解】
解：，
∴复数的实部为，
故答案为．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
13．.
【解析】
【详解】
分析：先化简复数代数形式，再根据复数相等求，即得结果.
详解：因为，
所以
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
14．二
【解析】
【详解】
试题分析：由原式得,，所以.
考点:复数的计算.
15．（1）第四象限（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）复数与复平面内点一一对应，要确定复数在复平面内对应的点所在的象限，关键在于正确求出复数.由于互为共轭的两个复数，实部相等，虚部相反，所以，因此z1＋＝(2－i)＋(1－i)＝3－2i，所以z1＋在复平面内对应的点为(3，－2)，在第四象限，（2）复数为纯虚数，有两个条件，一是实部为零，二是虚部不为零.由z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i得2a＋1＝0，且2－a≠0，解得
试题解析：
（1）因为a＝1，
所以z1＋＝(2－i)＋(1－i)＝3－2i． 2分
所以z1＋在复平面内对应的点为(3，－2)，
从而z1＋在复平面内对应的点在第四象限． 4分
（2）z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a) i． 6分
因为a∈R，z1·z2为纯虚数，
所以2a＋1＝0，且2－a≠0，解得． 8分
考点：复数与复平面内点的对应关系，纯虚数概念，共轭复数概念
16．
【解析】
【分析】
由条件可得，即动点表示以为圆心，1为半径的圆(除去点，)，又表示圆(除去点，)上的点与原点连线的斜率，数形结合即可得出答案.
【详解】
由虚数的模为1，得，
所以动点表示以为圆心，1为半径的圆(除去点，)
又表示圆(除去点，)上的点与原点连线的斜率，
作出圆的图形如图，过原点作圆的切线,为切点.
由，所以,则，即
又∵，∴．
由图形结合对称性，得．
【点睛】
本题考查虚数的定义，复数的模长的应用，考查直线与圆的位置关系，在解决某些复数问题时，要善于利用复数模的几何意义和数形结合的思想来解决问题，往往这类解法较为简洁．属于中档题.
17．（1），的实部的取值范围为；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）待定系数法设出，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由是实数可求得，且，故而，由，求得实部的范围；
（2）直接将（1）中代入，化简得，由，范围可知，故结论得证.
【详解】
（1）设(，且)
则.
∵是实数，，
∴，即，.
又∵，
∴，即，
∴的实部的取值范围为.
（2）.
∵，，
∴，故为纯虚数.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算，利用复数除法，求解相关参量的范围，要求学生会利用待定系数法，处理相关证明需要学生了解复数相关基础概念，为中等难度题目.
18．.
【解析】
【分析】
设，设方程的实根为，代入方程由复数相等的定义得出的关系，然后可以表示为的函数，由基本不等式可得最小值．
【详解】
解析：设，设方程的实根为，代入方程得：
即
当且仅当时取等号，即．
19．（1）或；（2）①最小正周期为π，单调递增区间为；②.
【解析】
【分析】
先利用复数相等的条件，得到，
（1）若弦化切得到，求出x；
（2）先求出，①直接写出最小正周期，利用复合函数同增异减求出
的单调递增区间；
②当时，，求出，再利用诱导公式和二倍角公式求出
的值.
【详解】
解：由，，且，得：
（1）若且，则，即，所以或.
（2），
①最小正周期为π，
由解得：，
所以的单调递增区间为.
②当时，，即，所以，
所以，
所以
【点睛】
（1）复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用复数的四则运算求出后可求其模.
（Ⅱ）设，利用复数的乘法计算出后再根据虚部为0求出，从而可得.
【详解】
解：（Ⅰ），
所以，
（Ⅱ）设，
则，
因为的虚部为0，所以，
，即.
所以.
【点睛】
本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成的形式将问题转化为实数问题.
21．（1）或（2）且（3）
【解析】
【分析】
根据复数的概念分类求解即可．
【详解】
解：①当，即或时，复数z为实数；
②当，即且时，复数z为虚数；
③当且，即时，复数z是纯虚数.
【点睛】
本题考查复数的分类，掌握复数的定义是解题关键．
22．的取值范围为.
【解析】
【详解】
试题分析：对于，为虚数的条件是且，然后将的范围求出来；对于，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式求解出的取值范围；由为真命题可知，都为真命题，故求出为真时的的取值范围的集合的交集即可.
试题解析：由题意知，
2分
若命题为真，是虚数，则有且
所以的取值范围为且且 4分
若命题为真，则有 7分
而
所以有或 10分
由题意知，都是真命题，实数的取值范围为 12分.
考点：1.复数的概念；2.二次方程根与系数的关系；3.逻辑联结词.
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