第五章复数2复数的四则运算2.1复数的加法与减法（Word含解析）

第五章 复数 2 复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法
一、单选题
1．定义运算，则(是虚数单位)为
A．3 B． C． D．
2．若复数，且，则
A． B． C． D．
二、填空题
3．设、为实数，若复数，则___________.
4．已知复数满足，其中为虚数单位，则的模为__．
5．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是_________．（写出一个有序实数对即可）
6．________.
7．已知复数，其中是虚数单位，则_______．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．
求过点A的圆C的切线方程．
求的最大值及此时对应的点P的坐标．
9．已知i为虚数单位，关于x的方程（a∈R）有实数根b．
（1）求实数a，b的值∶
（2）若复数z=x+yi（x，y∈R）满足，求|z|的最大值与最小值．
10．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，是的平分线交于点，若，求的最小值.
11．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．
（1）画出；
（2）求.
12．在复平面内，若复数z满足，则z所对应的点的集合是什么图形？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
因为运算，所以，故选B.
2．A
【解析】
【详解】
因为，所以，故选A.
3．
【解析】
【分析】
利用复数的除法和复数相等可得出、的值，进而可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，，因此，.
故答案为：.
4．.
【解析】
【分析】
由复数的运算法则，化简得，再由复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数满足，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算及复数模的计算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．或满足的任意一对非零实数对
【解析】
【详解】
试题分析：是实数，则，由于，故．
考点：复数的概念．
6．4
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则是得到答案.
【详解】
，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7．
【解析】
【分析】
求出复数的标准形式，根据复数模的计算公式求解.
【详解】
解：
所以
【点睛】
本题考查了复数模的运算，解题的关键是通过复数运算法则求出复数的标准形式.
8．（1）或；（2）最大值为，.
【解析】
【分析】
分类讨论，利用点到直线的距离等于半径，即可求过点A的圆的切线的方程；
设，利用两点间的距离公式表示出，，代入所求式子中化简，整理后得出所求式子最大即为最大，而P为圆上的点，连接OC延长与圆的交点即为此时的P点，，求出的最大值，即可确定出所求式子的最大值．
【详解】
当k存在时，设过点A切线的方程为，
圆心坐标为，半径，
，
解得，
所求的切线方程为，
当k不存在时方程也满足；
综上所述，所求的直线方程为：或；
设点，则由两点之间的距离公式知，
要取得最大值只要使最大即可，
又P为圆上的点，，
，
此时直线OC：，由，
解得舍去或，
点P的坐标为
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，圆的标准方程，坐标与图形性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．
9．（1）（2），．
【解析】
【分析】
（1）将代入方程，根据复数相等的知识求得.
（2）根据复数模的几何意义求得的最大值和最小值.
【详解】
（1）由于是方程的根，
所以，
，
所以.
（2），即，
表示对应的点到点的距离为，
即对应的点在圆上，
所以，
所以的最大值为，最小值为.
10．9
【解析】
【分析】
若选①：根据正弦定理得，再由正弦和角公式求得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选②：根据正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.
【详解】
解：若选①：根据正弦定理由，得，即，
又因为，，所以，
又，所以，
因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选③：由得，即，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
11．（1）见解析； （2）100.
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的方向作图；（2）利用平面几何知识求出CA的长即可．
【详解】
（1）如图所示.
（2）因为，，所以为正三角形，
故.
【点睛】
本题考查了平面向量的作法和模长计算，解题的关键是明确三角形的特殊性，属于基础题．
12．z所对应的点的集合是过原点斜率为的直线
【解析】
【分析】
设，由条件求出复数的对应点的轨迹方程，由此判断图形的形状.
【详解】
设，则复数z在复平面上的对应点为，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ z所对应的点的集合是过原点斜率为的直线.
答案第1页，共2页
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