第一章三角函数7正切函数7.3正切函数的图象与性质（Word含解析）

第一章 三角函数 7 正切函数 7.3 正切函数的图象与性质
一、单选题
1．在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，） B．
C． D．
2．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．现有四个命题：
①，；
②，；
③函数的图象存在对称中心；
④函数函数的最小为．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
5．已知.若，则的值为__________.
三、解答题
6．（1）已知，，求值．
（2）求函数，的值域．
（3）求函数的定义域、周期及单调区间．
7．已知.
（1）若，求函数的最小值及对应的值；
（2）若，求函数的最小值和最大值及对应的值.
8．设函数
求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
求不等式的解集．
9．试比较的大小.
10．已知函数．
（1）判断的奇偶性并证明;
（2）判断的单调性，并求当时，函数的值域．
11．求函数的定义域、周期、单调区间和对称中心．
12．写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心．
13．已知函数．
(1)若函数f(x)的最小正周期为π．求及函数f(x)的定义域；
(2)当时，函数f(x)的值域为求的取值范围．
14．比较下列各组中两个正切函数值的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.
【详解】
画出和直线的图象，
由图象可得,在上解集为，
故选B.
【点睛】
本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.
2．D
【解析】
【分析】
根据指数函数，对数函数，正切函数的性质得到a，b，c的取值范围，由此比较它们的大小.
【详解】
∵ 指数函数在上为增函数，又，
∴ ，
又∵ 对数函数在上为增函数，又
∴ ，
函数在上为增函数，
∴ ，
∴，
故选：D．
3．C
【解析】
【分析】
先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.
【详解】
由题意，函数的最小正周期为，
可得，解得，即，
令，即，
当时，，即函数在上单调递增，
又由，
又由，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．B
【解析】
【分析】
根据单调性判断①，结合基本不等式判断②，根据函数的奇偶性判断③，由正切型函数的周期判断④．
【详解】
因为在上单调递增，且，，
所以，．①正确
当时，，，，当且仅当时等号成立，②错；
因为，所以为奇函数， 图象关于原点对称．③正确；
函数的最小正周期．④错误．
故①③为真命题．
故选：B．
5．
【解析】
【分析】
由题可知函数为奇函数，即求.
【详解】
∵，
∴，
∴为奇函数，又，
∴.
故答案为：.
6．（1）；（2）；（3）定义域为，最小正周期为，单调递减区间为.
【解析】
（1）计算出的值，判断的符号，由此可求得值；
（2）由求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可求得函数在区间上的值域；
（3）解不等式可求得原函数的定义域，利用正切型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期，解不等式可得原函数的单调递减区间.
【详解】
（1），所以，，，，
，，
所以，，
，因此，；
（2）当时，，所以，，
所以，，
因此，函数，的值域为；
（3）令，解得，
函数的最小正周期为，
由，解得，
因此，函数的定义域为，最小正周期为，
该函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
7．（1）当时，的最小值为4；（2）当时，的最大值为8；当时，的最小值为4.
【解析】
（1）利用配方法可得函数的最小值；
（2）由函数的对称轴与区间的关系，可得函数的最值．
【详解】
（1），
∴当时，的最小值为4.
（2）∵的对称轴为，又，
∴，由二次函数的图象知，在上单调递减，在上单调递增.
又，，
∴，.
8．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【详解】
试题解析：第一问利用正切函数的性质，求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；第二问由题意，，可得不等式的解集.
由，得到函数的定义域；
周期；增区间，无减区间；对称中心
由题意，，可得不等式的解集．
9．
【解析】
利用诱导公式得出，利用正切函数在上的单调性比较大小即可.
【详解】
，又，在上是增函数，
故，
即.
【点睛】
本题主要考查了利用正切函数的单调性比较大小，属于基础题.
10．(1) 为奇函数.证明见解析；(2) 在定义域内为增函数．值域.
【解析】
【分析】
（1）由真数为正求出函数的定义域，根据奇函数的定义判定为奇函数（2）判断单调性利用函数单调性求出函数值域.
【详解】
（1）由，
∴此函数定义域为，
，
为奇函数.
（2），可得在定义域内为增函数．
在区间上为增函数，函数的值域为，
即为所求.
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，单调性的判断，值域，属于中档题.
11．定义域：；周期：；单调增区间：，无减区间 ；对称中心：.
【解析】
【分析】
运用整体代入法，根据正切函数的性质可求得答案.
【详解】
解：①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为．
②T＝＝2π.∴函数的周期为2π.
③由kπ－－∴函数的单调增区间为.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是.
12．定义域，周期，在递增，无递减区间，对称中心.
【解析】
【分析】
由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心；
【详解】
解：由，得：，．
所以，其定义域为；
由得：其最小正周期；
由，得：，．
所以，函数的单调递增区间为，．无递减区间；
由得：，．
所以的对称中心为；
13．(1)；定义域为
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换，化简函数解析式，然后根据周期即可求出，进而可求出函数的定义域;
（2）结合已知条件以及正弦函数的图象与性质即可得到，进而可以求出结果.
(1)
，
由函数f(x)的最小正周期为，可得，．
函数f(x)的定义域为．
(2)
当时，，
由函数f(x)的值域为得，．
解得．
因此，的取值范围是．
14．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
利用正切函数的单调性比较大小，角不在同一单调区间上的，利用诱导公式化为同一单调区间上角的正切值．
(1)
因为，，，且在上是增函数，
所以．
(2)
易得，
，
因为，函数在上是增函数，
所以，
即．
(3)
因为，而．
函数在上是增函数，
所以，即．
答案第1页，共2页
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