(共19张PPT)
三角形内角和定理
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.2.1
目标二 三角形内角和定理的应用
B
C
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
答 案 呈 现
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习题链接
【2021·鄂尔多斯】一块含30°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为( )
A．64°27′
B．63°27′
C．64°33′
D．63°33′
B
1
如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝( )
A．360°
B．180°
C．280°
D．320°
2
C
【点拨】
∠1＋∠2＝180°－40°＝140°，∠3＋∠4＝180°－40°＝140°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝140°＋140°＝280°.
【教材P105习题B组T2变式】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这种数量关系，这种数量关系是( )
A．∠A＝∠1＋∠2
B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2
D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
3
B
【点拨】
∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，
∴2∠A＋2∠AED＋2∠ADE＝360°.
易知∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，
∴∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°.
∴2∠A＝∠1＋∠2.
如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是( )
A．5°
B．10°
C．30°
D．70°
B
4
【教材P114复习题B组T4变式】一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°.
判断这个零件是否合格，并
说明理由．
5
解：这个零件不合格．
理由：如图，连接BC.
∵∠A＝90°，
∴∠ACB＋∠ABC＝180°－90°＝90°.
∵∠BDC＝148°，
∴∠DCB＋∠DBC＝32°.
∴∠ABD＋∠ACD＝58°≠32°＋21°.
∴这个零件不合格．
如图，说明∠A＋∠B＋∠C与∠ADC之间的关系．
6
解：连接BD.
∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝180°，
∴∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋
∠DBC＋∠CDB＝360°.
又∵∠ADB＋∠CDB＋∠ADC＝360°.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋360°－∠ADC＝360°.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝∠ADC.
【点拨】
本题图形是四边形，不是三角形．易错误地认为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°＞∠ADC.
当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
7
解：设三角形的三个内角分别为α，β，γ.
(1)设α＝2β，α＝100°，则β＝50°，
又∵α＋β＋γ＝180°，∴γ＝30°.
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
若存在α＝2β，α＝120°，则β＝60°，
又∵α＋β＋γ＝180°，
∴γ＝0°，此时不能构成三角形．
∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”．
如图是A，B，C三个岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东65°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．
8
(1)求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数；
解：根据题意可知∠DAC＝35°，
∠DAB＝65°，∠CBE＝40°.
∵DA∥EB，∴∠DAB＋∠EBA＝180°.
∴∠ABE＝180°－65°＝115°.
∴∠CBA＝∠ABE－∠CBE＝115°－40°＝75°.
∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝65°－35°＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝
180°－30°－75°＝75°.
解：能．如图，作CF∥AD交AB于F，则DA∥CF∥BE.
∴∠ACF＝∠DAC＝35°，
∠BCF＝∠CBE＝40°.
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝35°＋40°＝75°.
(2)聪明的刘凯同学发现解决第(1)问，可以不用“B岛在A岛的北偏东65°方向”这个条件，你能求吗？(共29张PPT)
测素质
冀教版 七年级下
第9章 三角形
集训课堂
与三角形有关的线段和角
C
C
1
2
3
4
5
D
C
6
7
8
D
答 案 呈 现
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9
A
10
11
12
B
D
5 cm
110°
5
60°
13
14
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15
16
17
答 案 呈 现
45°
18
19
下列长度的三条线段，能构成三角形的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm
B．1 cm，2 cm，4 cm
C．2 cm，2 cm，3 cm
D．2 cm，6 cm，3 cm
C
1
一、选择题(每题4分，共32分)
【2021·娄底】如图，AB∥CD，点E，F在AC上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2
C
将一副直角三角尺如图放置，若AE∥BC，则∠AFD的度数是( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
3
D
若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
C
4
如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
D
5
6
A
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M.已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，则∠M的度数为( )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
7
B
【2021·南京】下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
8
D
已知三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，第三边长是奇数，则第三边长是________．
9
5 cm
二、填空题(每题4分，共24分)
如图，△ABC中，高BD，CE交于点G，若∠A＝70°，则∠BGC＝________.
10
110°
如图，△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是________．
11
5
如图是某建筑工地上的人字架．已知∠1＝120°，那么∠3－∠2的度数为________．
12
60°
如图，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BDC＝95°，则∠A的度数是________．
13
45°
若CD是△ABC的高，∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，则∠BCA的度数为____________．
14
90°或30°
15．(8分)如图，已知钝角三角形ABC.
15
三、解答题(共44分)
解：如图，AM，CN为所作．
(1)作钝角三角形ABC的高AM，CN；
(2)若CN＝3，AM＝6，求BC与AB的比值．
(8分)【石家庄41中期末】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝3 cm，S△ABC＝12 cm2.求BC和DC的长．
16
(8分)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(1)试说明∠ACD＝∠B；
17
解：∵∠ACB＝90°，
CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠BCD＝180°－90°＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，试说明∠CEF＝∠CFE.
解：在直角三角形AFC中，
∠CFA＝180°－90°－∠CAF＝90°－∠CAF.
在直角三角形AED中，
∠AED＝180°－90°－∠DAE＝90°－∠DAE.
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.
∴∠AED＝∠CFE.
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
(8分)已知等腰三角形的周长是24 cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是3 cm.求此等腰三角形各边的长．
18
(12分)在△ABC中，∠ACB为最大角且∠ACB≠90°，高BD和CE所在的直线交于点H.
求∠BHC和∠A有什么关系，写出探究过程．
19
解：∠BHC＋∠A＝180°
或∠BHC＝∠A.
当∠ACB＜90°时，
△ABC为锐角三角形，如图①所示．
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，
∴∠ABD＋∠BHE＝90°.
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＋∠A＝90°.
∴∠A＝∠BHE.
∵∠BHC＋∠BHE＝180°，
∴∠BHC＋∠A＝180°.
当∠ACB＞90°时，△ABC为钝角三角形，如图②所示．
∵CE⊥AB，∴∠AEH＝90°，
∴∠BHC＋∠ABD＝90°.
∵BD⊥AC，∴∠CDH＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∴∠BHC＝∠A.(共13张PPT)
三角形的角平分
线、中线和高
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.3
目标一 三角形的角平分线、中线
D
C
1
2
3
4
5
B
A
6
7
8
B
答 案 呈 现
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A
D
1
如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD＝( )
A．30°
B．45°
C．20°
D．60°
2
C
【中考·丹东】如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO的延长线于点D，若∠A＝45°，
∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
3
B
【点拨】
∵∠AOD＝80°，∴∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－80°＝100°.
∵∠A＝45°，∴∠ACD＝180°－∠AOC－∠A＝180°－100°－45°＝35°.
∵CO是△ABC的角平分线，∴∠ACB＝2∠ACD＝2×35°＝70°.
∵BD∥AC，∴∠CBD＝180°－∠ACB＝180°－70°＝110°.
若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是( )
A．AB＝BC
B．BD＝DC
C．AD平分BC
D．BC＝2DC
A
4
B
5
【教材P111习题B组T2变式】如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( )
A．10
B．8
C．6
D．5
6
A
【点拨】
因为P是△ABC的重心，所以AD是△ABC的中线．
所以△ADC的面积等于△ABC面积的一半．
又因为△ABC的面积为20，
所以△ADC的面积为10.
如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．
7
解：∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD.
又∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线．
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长．
8(共16张PPT)
三角形内角和定理
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.2.1
目标一 三角形内角和定理
B
C
1
2
3
4
5
D
B
6
7
8
A
答 案 呈 现
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B
【原创题】如图①②③④所示的四种方法中，能成为证明三角形内角和定理思路的是( )
A．①②③④ B．①③ C．③④ D．①②
B
1
【教材P104练习T1变式】在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝80°，则∠C＝( )
A．85° B．75° C．65° D．55°
2
C
【中考·大连】如图，在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3
D
【2021·宿迁】 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
4
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85°
B．80°
C．75°
D．70°
A
5
【2021·陕西】如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
A．60°
B．70°
C．75°
D．85°
6
B
【教材P105习题A组T3变式】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
7
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：设∠A＝x，则∠B＝x－16°.
由题意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.
∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
解：设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x.
由题意得3x＋4x＋5x＝180°，
解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
如图①，线段AB与CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答下列问题：
(1)在图①中，∠A，∠B，∠C，∠D
之间的数量关系为
______________________；
8
∠A＋∠D＝∠B＋∠C
【点拨】
观察图形，根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得出结论．
解：根据(1)可知，∠1＋∠2＋∠D＝∠3＋∠4＋∠B.
同理，∠1＋∠D＝∠3＋∠P.
∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴2∠1＋∠D＝2∠3＋∠B.
(2)在图②中，若∠D＝42°，∠B＝38°，试求∠P的度数．(共16张PPT)
练素养
冀教版 七年级下
第9章 三角形
集训课堂
1.三角形三边关系的五种常见类型
B
1
2
3
4
5
6
答 案 呈 现
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【教材P102习题T2变式】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm
B
1
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
2
某木材市场上木棒规格与价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
3
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格(元/根) 10 15 20 25 30 35
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
解：设第三根木棒长x m，由三角形的三边关系可得5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.
故有规格为3 m，4 m，5 m，6 m的四种木棒可供小明的爷爷选择．
(2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
解：选择规格为3 m的木棒最省钱．
等腰三角形的周长为21 cm.
(1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm.
列方程，得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，
∴3x＝9.∵3＋9＞9，∴能构成三角形．
∴三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm.
4
(2)若已知一边长为5 cm，求其他两边长．
①当5 cm为腰长时，
底边长为21－5－5＝11(cm)，
三边长是5 cm，5 cm，11 cm.
∵5＋5＜11，
∴不能构成三角形．
【原创题】在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
5
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
解：用4根火柴棒不能搭成三角形．
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
解：用8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示；
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，即：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如图②所示．
已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
6
解：∵(b－2)2，|c－3|均为非负数，且(b－2)2＋|c－3|＝0，
∴(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，
可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
∴a＝2，b＝2，c＝3.∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7.(共31张PPT)
三角形的边
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.1
B
C
1
2
3
4
5
D
6
7
8
B
答 案 呈 现
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C
C
B
9
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11
12
13
B
A
14
15
16
4；1
D
三角形是( )
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不正确
B
1
下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( )
2
C
【点拨】
选项A，B，C，D都是由三条线段组成的图形，但A，B，D不是首尾顺次相接，只有C符合三角形的定义．
如图，图中三角形的个数是( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3
D
如图，以CD为边的三角形是_______________；∠EFB是________的内角；在△BCE中，BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；以∠A为内角的三角形有__________________________．
△CDF，△BCD
4
△BEF
∠BCE
CE
△ABD，△ACE，△ABC
【教材P102习题T2变式】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．3，4，8 B．5，6，10
C．5，5，11 D．5，6，11
B
5
【2021·宜宾】若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
6
C
【教材P113复习题A组T2变式】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
7
C
【点拨】
设第三边长为x.
根据三角形的三边关系，得4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.
因为x为整数，所以x的值为4.
所以三角形的周长为1＋4＋4＝9.
【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8
B
【点拨】
①长度分别为2＋3，3，4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2，3＋3，4，不能构成三角形；
③长度分别为2，3＋4，3，不能构成三角形；
④长度分别为2＋4，3，3，不能构成三角形．
综上所述，得到的三角形的最长边为5.
9
若实数m，n满足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10 C．8或10 D．6
B
【原创题】一个三角形的三边长之比是2：2：1，周长是10，此三角形按边分是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．以上都不对
A
10
如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形．
4
11
1
下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
12
D
【点拨】
等腰三角形包含等边三角形，三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．分清等腰三角形和等边三角形的关系是解题关键．
如图，过A，B，C，D，E五个点中的三个点画三角形．
(1)在图中画出以AB为边的三角形；
13
解：所画三角形如图所示．
(2)量一量，说出(1)中所画的等腰三角形和不等边三角形．
解：等腰三角形有△ABD，不等边三角形有△ABC，△ABE.
已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)若a，b，c满足|a－b|＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
14
解：∵|a－b|＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0.
∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
(2)若a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，试判断△ABC的形状；
解：∵(a－b)(b－c)＝0，
∴a－b＝0或b－c＝0.
∴a＝b或b＝c.
∴△ABC为等腰三角形．
(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.
解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.
∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b＝a＋b＋c.
如图，第1个图形是一个三角形，分别连接这个三角形三条边的中点得到第2个图形，再分别连接第2个图形中间的小三角形三条边的中点得到第3个图形……按此方法继续下去，请你根据每个图形中三角形的个数的规律，完成下列问题：
15
(1)将下表填写完整：
13
图形 序号 1 2 3 4 5 …
三角形的个数 1 5 9 …
17
(2)第n个图形中有________个三角形(用含n的式子表示)．
(4n－3)
【点拨】
分析图形，知第2个图形在第1个图形的基础上增加了4个三角形，第3个图形在第2个图形的基础上又增加了4个三角形，以此类推，每操作一次，增加4个三角形，因此第4个图形比第3个图形多4个三角形，即9＋4＝13(个)；第5个图形比第4个图形多4个三角形，即13＋4＝17(个)．第n个图形比第1个图形多4(n－1)个三角形，即第n个图形中有4(n－1)＋1＝4n－3(个)三角形．
如图，P是△ABC内部的一点．
(1)度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；
16
解：度量结果略．
AB＋AC>PB＋PC.
(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？
(3)你能说明上述结论为什么成立吗？
解：成立．
如图，延长BP交AC于点D.
在△ABD中，AB＋AD>PB＋PD；
在△PDC中，PD＋DC>PC，
∴AB＋AD＋PD＋DC>PB＋PD＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC.(共47张PPT)
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冀教版 七年级下
第9章 三角形
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答 案 呈 现
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如图，在△ABC中， D是BC边上一点，E是AD边上一点．
1
(1)以AC为边的三角形共有________个，它们是____________________________；
(2)∠1是△________和△________的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是________．
3
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
CDE
CE
【2021·柳州】若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是______________．
(写出一个即可)
2
5(答案不唯一)
已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O.试说明：2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA.
3
解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，
在△OAD中有____________________，
在△ODC中有____________________，
在△________中有____________________，
∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OB＋OC＞AB＋AD＋CD＋BC，即____________________________．
OA＋OD＞AD
OD＋OC＞CD
OBC
OB＋OC＞BC
2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA
已知a，b，c是三角形的三边长，试化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|.
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，a－b＋c＞0，
∴|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|
＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c＝2b.
4
5
【教材P111习题A组T1变式】已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
6
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.
(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？
【教材P114复习题B组T3(1)变式】如图所示，D是△ABC的角平分线BE和CF的交点，若∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．120°
B．130°
C．115°
D．110°
7
C
8
B
如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．连接AE，BD交于点F.已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．
9
解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点E作EF⊥AC于点F，
【点拨】
同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比．
10
解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.
∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.
11
(1)求∠BAF的度数；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，
∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAF＝70°＋40°＝110°.
(2)求∠F的度数．
12．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？
12
【点拨】
利用面积法，用两种方法表示△ABC的面积，以此列等式解决问题．
13．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，则∠A与∠D有怎样的数量关系？
13
阅读两名同学对下题的解答过程．
一个等腰三角形的周长为28 cm，其中一边长为8 cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为x cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10 cm.张刚说应这样解：设底边长为x cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8 cm，12 cm.
试判断李明与张刚的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
14
【点拨】
本题中没有明确8 cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．
在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．
15
解：设∠A＝x°，
则∠B＝20°＋∠A＝20°＋x°，
∠C＝∠B－10°＝20°＋x°－10°＝10°＋x°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴x°＋20°＋x°＋10°＋x°＝180°，
解得x＝50，∴∠A＝50°.
【点拨】
当所给关系比较复杂时，我们可以借助设未知数，利用方程思想使问题简单化．
如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向．
16
(1)试说明△ABC为直角三角形；
解：过点A作AF∥BD，交BC于点F，则AF∥EC.
∵∠ABD＝40°，∴∠BAF＝∠ABD＝40°.
∵∠ACE＝50°，∴∠CAF＝∠ACE＝50°.
∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
(2)求∠ACB的度数．
解：∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，
∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.
∴在△ABC中，∠ACB＝180°－90°－∠ABC＝90°－35°＝55°.
【点拨】
本题主要考查了数学建模思想，即把方位角建模成几何图形中的角，同时应用了平行线的性质，三角形的内角和定理及直角三角形的定义等知识．
17
(1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝_________；
(2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系；
15°
(3)请说明(2)中结论的正确性．
【点拨】
本题运用了从特殊到一般的思想，先从特殊情况中总结出规律，再用所学知识说明此规律的正确性．(共20张PPT)
三角形的外角
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.2.2
D
A
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A
答 案 呈 现
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A
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C
C
C
下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
D
1
关于三角形的外角，下列说法中错误的是( )
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
2
A
【2021·铜仁】直线AB，BC，CD，EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD
B．∠EFB＝40°
C．∠FCG＋∠3＝∠2
D．EF>BE
3
D
【2021·乐山】如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3.若α＝50°，则β的度数为( )
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
C
4
【中考·天门】将一副三角尺如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
A
5
【点拨】
∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝45°.
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，∴∠DEF＝30°.
∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DEF＝30°.
∴∠CED＝∠ACB－∠EDC＝45°－30°＝15°.
若三角形三内角的度数比是2：3：4，则它是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
6
A
【点拨】
设三个内角的度数分别为2k，3k，4k，则2k＋3k＋4k＝180°，解得k＝20°，最大的角为4×20°＝80°，则三角形是锐角三角形．
下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( )
7
C
【点拨】
A.最大内角是锐角，是锐角三角形．
B．最大内角是直角，是直角三角形．
C．无法确定最大内角的种类，故无法判断三角形类型．
D．最大内角是钝角，是钝角三角形．
如图，△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列选项中正确的是( )
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
8
C
【点拨】
∠ACB>∠ADC，∠ADC＝∠2＋∠3，则∠ACB>∠2＋∠3.解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭直觉判断．此题学生容易忽略外角的性质中“不相邻”这一条件，而错选A.
9
下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
下列选项中正确的是( )
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
C
【点拨】
延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)．
又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝∠EFC.
故AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
故选C.
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
10
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.(共15张PPT)
三角形的角平分
线、中线和高
冀教版 七年级下
第9章 三角形
9.3
目标二 三角形的高
C
C
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D
C
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C
答 案 呈 现
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A
B
【教材P110做一做T2变式】画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )
C
1
如图，△ABC中AB边上的高是( )
A．线段DA
B．线段CA
C．线段CD
D．线段BD
2
C
如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则图中可以作为三角形“高”的线段有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．5条
3
D
下列说法中正确的是( )
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
C
4
如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是( )
A．AE＝CE
B．∠ADC＝90°
C．∠CAD＝∠CBE
D．∠ACB＝2∠ACF
C
5
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
6
A
【点拨】
依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°.依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠BAE＝25°，则∠EAD＝5°.又∠ACD＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，则∠EAD＋∠ACD＝75°.
以下说法正确的有( )
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7
B
【点拨】
三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是射线，故①错误，而②③④⑤正确，所以选B.
如图，已知AD是△ABC中边BC上的中线．
(1)作出△ABD中边BD上的高；
8
解：如图，AM为△ABD中边BD上的高．
解：∵△ABD的面积为6，BD边上的高为3，
∴BD＝6×2÷3＝4.
又∵AD是△ABC中边BC上的中线，
∴BC＝2BD＝8.
(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
9
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为32，问：PD＋PE的值是否确定？若能确定，则PD＋PE的值是多少？若不能确定，请说明理由．(共25张PPT)
练素养
冀教版 七年级下
第8章 整式乘法与因式分解
集训课堂
2.三角形角的关系的七种常见题型
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如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°.求∠B的度数．
1
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
又∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.
【点拨】
本题运用了转化思想，借助平行线把与△ABC无关的已知角转化成△ABC中的∠BCE，再结合角平分线的定义就能进一步运用三角形内角和定理解决问题．
(1)如图①，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠ABX＋∠ACX＝________.
2
150°
60°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？请说明理由．
解：不变化．
理由：由(1)知∠ABC＋∠ACB＝150°.
∵∠X＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝180°－90°＝90°.
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°，即∠ABX＋∠ACX的大小不变化．
【教材P114复习题B组T3(1)变式】如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
3
【教材P108习题B组T2变式】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数．
4
解：连接CG，DF，CF.
在△COG和△AOB中，∠COG＝∠AOB，
∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC.
∵∠CDF＋∠DCF＋∠CFD＝180°，
∠GCF＋∠CGF＋∠GFC＝180°，
∴四边形CDFG的内角和为180°＋180°＝360°，
∴∠OCG＋∠2＋∠CDF＋∠DFG＋∠3＋∠OGC＝360°，
即∠2＋∠3＋∠6＋∠7＋∠CDF＋∠DFG＝360°.
在△DEF中，∠EDF＋∠EFD＋∠5＝180°，
∴∠EDF＋∠CDF＋∠EFD＋∠DFG＋∠2＋∠3＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，
即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.
【点拨】
连接CG，DF，CF.利用转化思想，将求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的和转化为求四边形CDFG的内角和与△DEF的内角和之和．
探索归纳：
(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90°
B．135°
C．270°
D．315°
C
5
(2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝∠A＋180°.理由如下：
∵∠1，∠2为△AEF的外角，
∴∠1＝∠A＋∠AEF，∠2＝∠A＋∠AFE.
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋180°.
(3)若没有将∠A剪掉，而是把它折成如图③的形状，且∠1＋∠2＝120°，求∠A的度数．
解：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，
∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
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(1)试说明∠EAC＝∠B.
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝
∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x.
由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°.
在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，
∴3x＋2(x＋50°)＝180°，
解得x＝16°.∴3x＝48°，即∠E＝48°.
【2021·衡水第五中学月考】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝120°.
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(1)求∠A的度数；
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝60°.
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝120°.∴∠A＝60°.
(2)求∠D的度数．
