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素养集训
2．三角形全等应用的四种常见类型
第四章 三角形
北师版 七年级下
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见习题
见习题
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1．【2020·徐州】如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.
(1)试说明：AE＝BD；
解：因为AC⊥BC，DC⊥EC，所以∠ACB＝∠DCE＝90°.
所以∠ACE＝∠BCD.
又因为AC＝BC，DC＝EC.所以△ACE≌△BCD.
所以AE＝BD.
(2)求∠AFD的度数．
解：如图，设BC与AE交于点N.
因为∠ACB＝90°，所以∠A＋∠ANC＝90°.
因为△ACE≌△BCD，所以∠A＝∠B.
因为∠ANC＝∠BNF，
所以∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°.
所以∠AFB＝90°.所以∠AFD＝90°.
2．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线EF，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N.
(1)试说明：MN＝AM＋BN.
解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACM＋∠BCN＝90°.
又因为AM⊥EF，BN⊥EF，所以∠AMC＝∠CNB＝90°.
所以∠BCN＋∠CBN＝90°.
所以∠ACM＝∠CBN.
在△ACM和△CBN中，
所以△ACM≌△CBN(AAS)．
所以MC＝NB，MA＝NC.
因为MN＝MC＋CN，所以MN＝AM＋BN.
解：(1)中的结论不成立，
结论为MN＝AM－BN.理由如下：
同(1)可得△ACM≌△CBN，
所以CM＝BN，AM＝CN.
因为MN＝CN－CM，所以MN＝AM－BN.
(2)如图②，若过点C作直线EF与线段AB相交，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N，(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请探究MN，AM，BN的数量关系，并说明理由．
3．将两个大小不同的等腰直角三角板按图①放置，图②是由它们抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明(注意：结论中不得含有未标识的字母)；
解：△ABE≌△ACD.理由如下：
因为△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
所以AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
所以∠BAC＋∠EAC＝∠DAE＋∠EAC，即∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(SAS)．
(2)请判断DC与BE的位置关系，并说明理由；
解：DC⊥BE.理由如下：
设AE与CD交于点F.
因为△ABE≌△ACD，所以∠AEB＝∠ADC.
因为∠ADC＋∠AFD＝90°，所以∠AEB＋∠AFD＝90°.
因为∠AFD＝∠CFE，所以∠AEB＋∠CFE＝90°，
所以∠FCE＝90°，所以DC⊥BE.
(3)若CE＝2，BC＝4，求△DCE的面积．
解：因为CE＝2，BC＝4，所以BE＝6.
因为△ABE≌△ACD，所以CD＝BE＝6.
4．【中考·南充】如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)试说明：△AOD≌△OBC；
解：因为点O是线段AB的中点，所以AO＝BO.
因为OD∥BC，所以∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
所以△AOD≌△OBC(SAS)．
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．
解：因为△AOD≌△OBC，
所以∠ADO＝∠OCB＝35°.
因为OD∥BC，所以∠DOC＝∠OCB＝35°.(共23张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第2课时 用两角一边的关系判定三角形全等
第四章 三角形
北师版 七年级下
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C
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夹边；角边角；ASA
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两角；等角；对边；角角边；AAS
D
见习题
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A
A
见习题
AC＝BC(答案不唯一)
A
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见习题
1．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．
夹边
角边角
ASA
2.【教材P102习题T4变式】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
C
3．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．∠BAD＝∠CAD
B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC
D．∠B＝45°
A
4．【2021·衡阳】如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF.试说明：△ABC≌△DEF.
解：因为AC∥DF，
所以∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等)．
又因为BC∥EF，
所以∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等)．
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
5．________分别相等且其中一组________的________相等的两个三角形全等，简写成“________”或“_______”．
两角
等角
对边
角角边
AAS
6．【中考·金华】如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是______________________________．
AC＝BC(答案不唯一)
7．【教材P103随堂练习T1改编】如图，能够判定全等的两个三角形是( )
A．①和② B．②和④
C．①和③ D．③和④
D
8．【中考·安顺】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC
··
【点拨】选项A.添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF；
选项B.添加AC＝DF可用AAS进行判定；
选项C.添加AB＝ED可用AAS进行判定；
选项D.添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定．
【答案】 A
9．【教材P104习题T2变式】【2021·吉林改编】如图，点D在AB上，E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C，试说明：AB＝AC.
解：在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(AAS)．
所以AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
10．【教材P111复习题T9变式】如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得能直接利用“ASA”判断△AOB≌△DOC，你补充的条件是( )
A．OA＝OD
B．OB＝OC
C．AB＝CD
D．OA＝OC
A
11．【2021·南充】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.试说明：AF＝BE.
解：因为∠BAC＝90°，所以∠BAE＋∠FAC＝90°.
因为BE⊥AD，CF⊥AD，所以∠BEA＝∠AFC＝90°，
所以∠BAE＋∠EBA＝90°，∠C＋∠FAC＝90°，
所以∠EBA＝∠FAC，∠BAE＝∠C.
在△ACF和△BAE中，
所以△ACF≌△BAE(ASA)． 所以AF＝BE.
12．【2021·黄石】如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
(1)试说明：△ADE≌△CFE；
解：因为CF∥AB，
所以∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
所以△ADE≌△CFE(AAS)．
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
解：因为△ADE≌△CFE，
所以AD＝CF＝4.
所以BD＝AB－AD＝5－4＝1.
13．【中考·安顺】(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系是____________；
AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论．
解：AB＝CF＋AF.
如图，延长AE交DF的延长线于点G.
因为E是BC的中点，所以CE＝BE.
因为AB∥DC，所以∠BAE＝∠G.
又因为∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，
所以△AEB≌△GEC(AAS)．所以AB＝GC.
因为AE是∠BAF的平分线，所以∠BAG＝∠FAG.
因为∠BAG＝∠G，所以∠FAG＝∠G.
如图，过点F作AG的垂线，垂足为H，
则∠FHA＝∠FHG＝90°，
又因为FH＝FH，∠FAG＝∠G，所以△FHA≌△FHG.
所以AF＝GF.
因为CG＝CF＋GF，所以AB＝CF＋AF.(共28张PPT)
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第四章 三角形
北师版 七年级下
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见习题
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D
见习题
∠B＝∠D(答案不唯一)
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见习题
M；N；Q；P
B
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见习题
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见习题
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见习题
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见习题
见习题
1．如图，(1)图中共有几个三角形？请分别表示出来．
【点拨】用字母表示一个三角形时，不要漏写符号“△”．在复杂图形中数三角形个数的方法：
(1)按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数)；
(2)按组成三角形的图形个数去数；
(3)可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数；
(4)先固定一个顶点，不断变换另外两个顶点去数．
解：图中共有8个三角形，分别是△ABC，△ABD，△AEO，△AEC，△ADC，△AOC，△ODC，△EBC.
(2)以∠AEC为内角的三角形有哪些？
解：以∠AEC为内角的三角形有△AEO和△AEC.
(3)以∠ADC为内角的三角形有哪些？
以∠ADC为内角的三角形有△ADC和△ODC.
(4)以BD为边的三角形有哪些？
以BD为边的三角形有△ABD.
解：因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°.
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－60°＝30°.
因为∠BAC＝80°，所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－30°＝50°.
因为AE平分∠DAC，所以∠DAE＝ ∠DAC＝25°.
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数．
3．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后重新拼组，得到标号为N，Q，M，P的四个图形．
A与________对应；B与________对应；
C与________对应；D与________对应．
M
N
Q
P
4．【教材P111复习题T9变式】【2021·重庆B】如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能说明△ABC和△DCB全等的是( )
A．∠ABC＝∠DCB
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．∠A＝∠D
B
··
5．【2021·南京】下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A．1，1，1 B．1，1，8
C．1，2，2 D．2，2，2
【点拨】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短的和必大于最长边逐项判定即可．
D
6．【2021·陕西】如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
A．60° B．70°
C．75° D．85°
B
7．如图，已知点F，H，G，M在一条直线上，△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．
(1)写出相等的线段与角；
解：因为△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
所以EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM.
所以FH＝GM，∠FHN＝∠MGE.
(2)若EF＝2.1 cm，FH＝1.1 cm，MH＝3.3 cm，求MN和HG的长度．
解：因为EF＝NM，EF＝2.1 cm，
所以MN＝2.1 cm.
因为FG＝MH，FH＋HG＝FG，FH＝1.1 cm，MH＝3.3 cm，
所以HG＝FG－FH＝MH－FH＝3.3－1.1＝2.2(cm)．
8．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于点E，F.试说明：∠E＝∠F.
【点拨】说明线段相等或角相等时，经常考虑利用三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出结论．
解：在△ABD和△CDB中，
所以△ABD≌△CDB(SSS)．
所以∠1＝∠2.所以AD∥BC.
所以∠E＝∠F.
9．【2021·济宁】如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件__________，使△ABC≌△ADC.
∠B＝∠D
(答案不唯一)
10．【2021·陕西】如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC.试说明：∠D＝∠ABC.
解：因为BD∥AC，所以∠ACB＝∠EBD.
在△ABC和△EDB中，
所以△ABC≌△EDB(SAS)．
所以∠ABC＝∠D.
11．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.试说明：(1)BF＝BC；
解：因为BE平分∠ABC，
所以∠FBE＝∠CBE.
因为CE⊥BE，所以∠FEB＝∠CEB＝90°.
又因为BE＝BE，
所以△FBE≌△CBE(ASA)．
所以BF＝BC.
(2)BD＝2CE.
解：因为∠BEF＝∠FAC＝90°，
所以∠ABD＋∠F＝∠ACF＋∠F＝90°.
所以∠ABD＝∠ACF.
又因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，
所以△BDA≌△CFA(ASA)．所以BD＝CF.
又由(1)知△FBE≌△CBE，所以EF＝CE.
所以CF＝2CE. 所以BD＝2CE.
12．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，试说明：∠ABC＝∠DCB.
【点拨】说明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策．如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，化整为零，分散说明，这也是几何中的一种常用技巧．
解：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝DN，BM＝CM.
在△ABN和△DCN中，
所以△ABN≌△DCN(SAS)．
所以∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM和△NCM中，
所以△NBM≌△NCM(SSS)．
所以∠NBC＝∠NCB.
所以∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，
即∠ABC＝∠DCB.
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC，且BD交CA的延长线于点D，求∠ABD的度数．
【点拨】本题运用方程思想，设出一个角，其他角用含未知数的式子表示，找到等量关系即可解决问题．
解：设∠C＝x，
则∠ABC＝x，∠BAC＝4x.
在△ABC中，x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°.
所以∠BAC＝120°.所以∠DAB＝60°.
因为BD⊥CD，所以∠D＝90°.
所以∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°.
14．农科所有一块五边形的试验田ABCDE(如图)，已知∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝20 m，求这块试验田的面积．
【点拨】本题通过作辅助线，两次说明三角形全等，将五边形ABCDE的面积转化为△AFD面积的2倍，这是本题的巧妙之处．
解：如图，延长DE至F，使EF＝BC，连接AC，AD，AF.
因为∠AED＝90°，所以∠AEF＝90°.
又因为∠ABC＝90°，所以∠ABC＝∠AEF.
在△ABC和△AEF中，
所以△ABC≌△AEF(SAS)．
所以AC＝AF，S△ABC＝S△AEF.
因为CD＝BC＋DE，BC＝EF，所以CD＝EF＋DE＝FD.
在△ACD和△AFD中，
所以△ACD≌△AFD(SSS)．所以S△ACD＝S△AFD.
所以这块试验田的面积是2S△AFD＝2× ·DF·AE＝2× ×20×20＝400(m2)．(共12张PPT)
1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
第四章 三角形
北师版 七年级下
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D
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(1)顶点；对边中点；线段；面积 (2)重心
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D
见习题
见习题
见习题
A
线段；线段；射线
C
1．(1)在三角形中，连接一个______与它_________的______，叫做这个三角形的中线．三角形的一条中线把原三角形分成______相等的两部分．
(2)三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的__________．
顶点
对边中点
线段
面积
重心
2．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，下列结论中不正确的是( )
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
D
···
3．【教材P87议一议拓展】如图，已知点P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
A
4．在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线．它与一个角的平分线的区别：它是________，而一个角的平分线是__________．
线段
线段
射线
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
D
6．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝( )
A．30° B．45°
C．20° D．60°
C
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，且DE交AB于点E，∠1＝∠2，则DF与AB有什么位置关系？并说明理由．
解：DF∥AB.理由如下：
因为DE∥AC，所以∠1＝∠4.
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠3.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3.所以DF∥AB.
8．【教材P89习题T2改编】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于( )
A．2 cm2 B．1 cm2
C. cm2 D. cm2
B
9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分．求这个等腰三角形的腰长和底边长．
【点拨】解本题要注意两点：
第一，分类讨论，排除掉围不成三角形的情况；
第二，题中是把△ABC的周长分为15和6两部分，而不是分成的两个三角形的周长为15和6.
解：设BD为中线．下面分两种情况讨论．
(1)当AB＞BC时，有AB＋AD＝15，CD＋BC＝6，可得AB＝AC＝10，BC＝1；
(2)当AB＜BC时，有AB＋AD＝6，BC＋CD＝15，可得AB＝AC＝4，BC＝13，
由于4＋4<13，因此此种情况不符合题意．
故这个等腰三角形的腰长为10，底边长为1.(共22张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第1课时 用三边关系判定三角形全等
第四章 三角形
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C
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分别相等；SSS；A′B′；BC；△A′B′C′
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D
A
见习题
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B
A
D
见习题
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见习题
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见习题
1．三边__________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“________”．
其书写模式为：
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌___________________.
分别相等
SSS
A′B′
BC
△A′B′C′
2．【教材P110复习题T4变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则根据“边边边”可以判定( )
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
C
3．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面的4个条件：
①AE＝FB；②AB＝FE；
③AE＝BE；④BF＝BE.
其中可利用的是( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或④
A
4．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠A＝60°，∠E＝30°，则∠EBC的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
D
5．如图，已知AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：
①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；
③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD.
所以∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA.
所以AD平分∠BAC.
又因为∠BDA＋∠CDA＝180°，
所以∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC.
所以①②③④都正确，故选D.
【答案】 D
6．【2021·云南】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.试说明：∠DAC＝∠CBD.
解：在△CDA和△DCB中，
所以△CDA≌△DCB(SSS)，
所以∠DAC＝∠CBD.
7．【中考·河北】下列图形具有稳定性的是( )
A
8．【教材P99习题T1变式】如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的数量是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B
9．【中考·桂林】如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
解：因为AD＝CF，
所以AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
解：因为∠A＝55°，∠B＝88°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－55°－88°＝37°.
因为△ABC≌△DEF，
所以∠F＝∠ACB＝37°.
10．【2021·永州改编】如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)试说明：△AEC≌△BFD.
解：因为AD＝BC，
所以AD＋DC＝BC＋DC，所以AC＝BD.
在△AEC和△BFD中，
所以△AEC≌△BFD(SSS)．
(2)试说明：AE∥BF.
解：因为△AEC≌△BFD，
所以∠A＝∠B，所以AE∥BF.
11．【教材P110复习题T4改编】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是边AB上一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE＝BF，AE＝EF＋BF.
(1)试说明：∠ACE＝∠CBF.
解：因为AE＝EF＋BF，CE＝BF，
所以AE＝EF＋CE＝CF.
在△ACE和△CBF中，
所以△ACE≌△CBF(SSS)，所以∠ACE＝∠CBF.
(2)判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
解：AC⊥BC.理由如下：
由(1)知△ACE≌△CBF，所以∠CAE＝∠BCF.
因为AE⊥CF，所以∠AEC＝90°，
所以∠CAE＋∠ACE＝90°，
所以∠BCF＋∠ACE＝90°，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
12．如图，已知线段AB，CD相交于点O，AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，EA＝EC.
(1)试说明：∠A＝∠C；
解：如图，连接OE.
在△EAO和△ECO中，
所以△EAO≌△ECO(SSS)．
所以∠A＝∠C.
【点拨】本题运用了构造法．通过连接OE，构造△EAO，△ECO，将∠A，∠C分别置于这两个三角形中，然后通过说明△EAO和△ECO全等可得∠A＝∠C.
(2)在(1)的解答过程中需要作辅助线，意图是什么？
解：构造全等三角形．(共12张PPT)
素养集训
2．三角形三边关系应用的六种常见题型
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
C
6
见习题
B
见习题
见习题
1．【教材P86习题T1变式】【中考·毕节】在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是( )
A．2 cm，3 cm，4 cm
B．3 cm，6 cm，6 cm
C．2 cm，2 cm，6 cm
D．5 cm，6 cm，7 cm
C
··
2．如图是一个直三棱柱的平面展开图，其中AD＝10，CD＝2，则下列可作为AB长的是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
B
3．【教材P87习题T2拓展】若有理数m，n满足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10
C．8 D．6
【点拨】因为|m－2|＋(n－4)2＝0，
所以m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.
当腰长为2时，三边长为2，2，4，不符合三角形的三边关系；
当腰长为4时，三边长为2，4，4，符合三角形的三边关系，周长为2＋4＋4＝10.
【答案】 B
4．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解．求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
解：由(b－2)2＋|c－3|＝0，(b－2)2≥0，|c－3|≥0，得b－2＝0，c－3＝0，则b＝2，c＝3.
因为a为方程|x－4|＝2的解，
所以|a－4|＝2，所以a＝6或a＝2.
当a＝6时，2＋3<6，所以a＝6不符合题意，舍去；
当a＝2时，满足三角形的三边关系．所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7，△ABC是等腰三角形．
5．已知点P是△ABC内任意一点，连接PB，PC.
(1)如图①，延长BP交AC于D，试说明：AB＋AC＞PB＋PC；
解：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，
得AB＋AD＞BD，CD＋DP＞PC，
所以AB＋AD＋CD＋DP＞BD＋PC.
所以AB＋AC＋DP＞PB＋PD＋PC.
所以AB＋AC＞PB＋PC.
(2)如图②，连接PA，试比较 (AB＋AC＋BC)与PA＋PB＋PC的大小关系．
解：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，
得PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PC＋PA＞AC，
所以2(PA＋PB＋PC)＞AB＋AC＋BC.
所以PA＋PB＋PC＞ (AB＋AC＋BC)．
6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
解：因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0.
所以a＝b＝c.所以△ABC是等边三角形．
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
解：因为a＝5，b＝2，所以3
所以c的最大值为6，最小值为4.
所以△ABC的周长的最大值为13，最小值为11.(共20张PPT)
素养集训
1．全等三角形判定的三种类型
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
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3
4
见习题
5
见习题
6
见习题
见习题
见习题
见习题
7
见习题
8
见习题
1．【中考·温州】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)试说明：△AED≌△EBC；
解：因为AD∥EC，所以∠A＝∠BEC.
因为E是AB的中点，所以AE＝EB.
又因为∠AED＝∠B，
所以△AED≌△EBC(ASA)．
(2)当AB＝6时，求CD的长．
解：因为△AED≌△EBC，所以AD＝CE.
因为AD∥EC，所以∠ADE＝∠CED.
又因为DE＝ED，
所以△ADE≌△CED(SAS)．
所以AE＝CD.
因为AE＝ AB＝3，所以CD＝3.
2．如图，已知AB＝AD，∠DAC＝∠BAC.若E是AC上一点，试说明：∠CBE＝∠CDE.
解：在△ABE和△ADE中，
所以△ABE≌△ADE(SAS)．
所以BE＝DE，∠AEB＝∠AED.
所以∠BEC＝∠DEC.
又因为EC＝EC，所以△BEC≌△DEC(SAS)．
所以∠CBE＝∠CDE.
3．如图，已知AB＝AC，∠AEB＝∠ADC.
试说明：△BOD≌△COE.
解：在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(AAS)．
所以∠B＝∠C，AE＝AD.
因为AB＝AC，所以AB－AD＝AC－AE，
即BD＝CE.
在△BOD和△COE中，
所以△BOD≌△COE(AAS)．
4．【中考·恩施州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.试说明：AD与BE互相平分．
解：因为AB∥ED，所以∠ABC＝∠DEF.
因为AC∥FD，所以∠ACB＝∠DFE.
因为FB＝CE，所以BC＝EF.
在△ACB和△DFE中，
所以△ACB≌△DFE(ASA)．
所以AB＝DE.
在△AOB和△DOE中，
所以△AOB≌△DOE(AAS)．
所以OA＝OD，OB＝OE，
即AD与BE互相平分．
5．【中考·云南】如图，AB＝AD，CB＝CD.
试说明：∠B＝∠D.
解：在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
所以∠B＝∠D.
6．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF.
试说明：EB∥CF.(用两种方法)
解法一：因为AB∥CD，所以∠3＝∠4.
在△ABO和△DCO中，
所以△ABO≌△DCO(ASA)．
所以OB＝OC.
因为OA＝OD，AE＝DF，
所以OD＋DF＝OA＋AE，即OF＝OE.
在△COF和△BOE中，
所以△COF≌△BOE(SAS)．
所以∠F＝∠E.所以EB∥CF.
解法二：因为AB∥CD，
所以∠3＝∠4.
在△ABO和△DCO中，
所以△ABO≌△DCO(ASA)．
所以BA＝CD.
因为∠3＝∠4，所以∠CDF＝∠BAE.
在△CDF和△BAE中，
所以△CDF≌△BAE(SAS)．
所以∠F＝∠E.所以EB∥CF.
7．【中考·百色】如图，已知在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且CE交AD于点E，AF∥CE且AF交BC于点F.
(1)试说明：△ABF≌△CDE；
解：因为AF∥CE，所以∠AFB＝∠BCE.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC.
所以∠CED＝∠BCE. 所以∠AFB＝∠CED.
所以△ABF≌△CDE(AAS)．
解：由(1)得△ABF≌△CDE，所以∠BAF＝∠DCE，
因为∠1＝65°，所以∠1＝∠BCE＝∠BFA＝65°.
因为CE平分∠BCD，所以∠DCE＝∠BCE＝65°.
所以∠BAF＝∠DCE＝65°.
所以∠B＝180°－65°－65°＝50°.
(2)若∠1＝65°，求∠B的大小．
(提示：平行四边形的对角相等)
8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°，试说明：AD＝CD.
解：如图，过点D分别作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
DF⊥BC于点F.
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.
在△BDE和△BDF中，
所以△BDE≌△BDF(AAS)．所以DE＝DF.
又因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，
所以∠C＝∠DAE.
在△ADE和△CDF中，
所以△ADE≌△CDF(AAS)．所以AD＝CD.(共11张PPT)
4 用尺规作三角形
第四章 三角形
北师版 七年级下
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(1)已知线段 (2)已知角
5
D
6
7
见习题
见习题
(1)SAS (2)ASA (3)SSS
C
见习题
1．尺规作图的画图工具是( )
A．刻度尺、圆规 B．三角尺和量角器
C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
D
2．基本尺规作图包括：
(1)作一条线段等于____________；
(2)作一个角等于____________；
(3)作一个角的平分线(以后将学到)；
(4)作一条线段的垂直平分线(以后将学到)；
(5)过一点作已知直线的垂线(以后将学到)．
已知线段
已知角
3．利用尺规作三角形，有三种基本类型：
(1)已知三角形的两边及其夹角，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”；
(2)已知三角形的两角及其夹边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”；
(3)已知三角形的三边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”．
SAS
ASA
SSS
4．已知三边作三角形，用到的基本作图是( )
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作一条线段等于已知线段的和
C
5．【教材P111复习题T5改编】如图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知在△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.用直尺和圆规作出△ABC.(要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)
解：如图，△ABC即为所求．
6．如图，已知线段a，b和α＝40°，你能作出唯一的△ABC，使得AB＝a，BC＝b，∠A＝α吗？若能，写出作法；若不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：
图中△ABC和△ABC′都符合题意，所以不能作出唯一的△ABC.
7．【教材P112复习题T13变式】【中考·咸宁】已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
(1)如图①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你说明∠A′O′B′＝∠AOB.
解：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′.
在△OCD和△O′C′D′中，
所以△OCD≌△O′C′D′(SSS)．
所以∠COD＝∠C′O′D′，
即∠A′O′B′＝∠AOB.(共13张PPT)
1 认识三角形
第4课时 三角形的高线
第四章 三角形
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C
5
顶点和垂足；高
6
7
8
A
见习题
见习题
1
内部；两条直角边；内部；有两条在三角形外部，有一条在三角形内部；所在的直线
C
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，______________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的________．
顶点和垂足
高
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列结论中错误的是( )
A．AB＝2BF
B．∠ACE＝ ∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥BE
C
··
3．【2021·娄底】如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝________．
1
【点拨】连接AP，则S△ABC＝S△ACP＋S△ABP，依据S△ACP＝ AC×PF，S△ABP＝ AB×PE，代入计算即可得到PE＋PF＝1.
4．锐角三角形的三条高在三角形________；
直角三角形的高有两条分别是_______________，
有一条在三角形________；
钝角三角形的高_________________________________________．
三角形的三条高____________交于一点．
内部
两条直角边
内部
有两条在三角形外部，有一条在三角形内部
所在的直线
5．【教材P90想一想变式】【中考·长沙】过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是( )
A
6．【教材P89议一议变式】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种都有可能
C
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，求∠CHD的度数．
解：如图，延长CH，交AB于点F.
因为三角形的高线交于一点，所以CF⊥AB.
因为∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，
所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝45°.
所以∠BCF＝90°－∠ABC＝45°.
因为AD⊥BC，所以∠CHD＝90°－∠DCH＝45°.
8．如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.求：
(1)AD的长；
(2)△AEC的面积；
解：因为△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，
所以S△ABC＝ AB·AC＝ ×6×8＝24(cm2)．
因为AE是边BC上的中线，所以BE＝EC，
所以 BE·AD＝ EC·AD，即S△ABE＝S△AEC，
所以S△AEC＝ S△ABC＝ ×24＝12(cm2)．
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
解：因为AE为BC边上的中线，
所以BE＝CE，
所以△ACE的周长－△ABE的周长＝
AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.(共13张PPT)
5 利用三角形全等测距离
第四章 三角形
北师版 七年级下
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3
4
CA；∠DCE＝∠ACB；CB；DE＝AB
见习题
见习题
见习题
1．【教材P109习题T1拓展】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
如图，(1)在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
(2)沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
(3)从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
(4)测得DE的长就是河宽AB.
请你说明以上做法的正确性．(假设每步长度相同)
解：因为AB⊥BC，ED⊥BC，
所以∠ABC＝∠EDC＝90°.
在△ABC和△EDC中，
所以△ABC≌△EDC(ASA)．
所以AB＝DE.
2．【2021·柳州】如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的说明．
说明：在△DEC和△ABC中，
所以△DEC≌△ABC(SAS)，
所以________．
CA
∠DCE＝∠ACB
CB
DE＝AB
3．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠CDO.
因为OD⊥CD，所以∠CDO＝90°.
所以∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD＝OB.
在△ABO和△CDO中，
所以△ABO≌△CDO(ASA)．
所以CD＝AB＝20 m.
4．如图，小强在河的一边，要测河面的一只小船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：
(1)在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；
(2)在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；
(3)画DF⊥CD，使F，O，A在同一直线上；
(4)在线段DF上找一点E，使E与O，B共线．
他说测出线段EF的长就是小船B与码头A的距离．他这样做有道理吗？为什么？
解：有道理．理由如下：
因为DF⊥CD，AC⊥CD，所以∠C＝∠D＝90°.
因为O为CD的中点，所以CO＝DO.
在△ACO和△FDO中，
所以△ACO≌△FDO(ASA)．
所以OA＝OF，∠A＝∠F.
在△ABO和△FEO中，
所以△ABO≌△FEO(ASA)．
所以AB＝EF.(共21张PPT)
2 图形的全等
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
完全重合；形状；大小；全等
6
7
8
9
D
对应；对应
B
10
D
重合；对应顶点；对应边；对应角
≌；全等于；对应
见习题
见习题
11
12
13
见习题
14
见习题
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见习题
见习题
1．能够____________的两个图形称为全等图形，全等图形的________和________都相同．平移、翻折、旋转前后的两个图形________．
完全重合
形状
大小
全等
2．【教材P93议一议变式】下列图形(如图)中，是全等图形的有( )
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
B
3．能够完全________的两个三角形叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做________，重合的角叫做__________．
重合
对应顶点
对应边
对应角
4．全等用符号“______”表示，读作“____________”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在________的位置上．
≌
全等于
对应
5．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△EAD全等，则下列表示正确的是( )
A．△ABC≌△AED
B．△ABC≌△EAD
C．△ABC≌△DEA
D．△ABC≌△ADE
D
6．【教材P95习题T2变式】如图，△ABC≌△BAD，BC和AD是对应边，请写出其他的对应边和对应角．
解：因为△ABC≌△BAD，BC和AD是对应边，所以其他的对应边分别为AC与BD，AB与BA，其他的对应角分别为∠CAB与∠DBA，∠C与∠D，∠CBA与∠DAB.
7．全等三角形是两个能够完全重合的三角形，因此它们的________边相等，________角相等．
对应
对应
8．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论不一定成立的是( )
A．△ABC≌△DEF
B．∠DEF＝90°
C．AC＝DF
D．EC＝CF
D
···
9．【2021·哈尔滨】如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为( )
A．30° B．25°
C．35° D．65°
B
10．【教材P94随堂练习T2变式】如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数．
解：因为△EDB≌△EDC，
所以∠DEB＝∠DEC＝90°.
因为△ADB≌△EDB≌△EDC，
所以∠ADB＝∠EDB＝∠EDC＝60°.
所以∠C＝30°.
11．【教材P110复习题T3变式】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝5 cm.
(1)求DE的长．
解：因为△ABD≌△EBC，
所以BD＝BC＝5 cm，BE＝AB＝2 cm.
所以DE＝BD－BE＝3 cm.
(2)DB与AC垂直吗？为什么？
解：DB与AC垂直．理由如下：
因为△ABD≌△EBC，
所以∠ABD＝∠EBC.
因为点A，B，C在一条直线上，
所以∠ABD＋∠EBC＝180°.
所以∠EBC＝90°，即DB与AC垂直．
12．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P.
(1)若∠ABE＝160°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数；
解：因为△ABC≌△DBE，
所以∠ABC＝∠DBE.
所以∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.
所以∠CBE＝ (∠ABE－∠DBC)＝ ×(160°－30°)＝65°.
解：因为△ABC≌△DBE，
所以BE＝BC＝4.5 cm，DE＝AC＝AD＋DC＝6 cm.
所以△DCP与△BPE的周长之和为DC＋DP＋PC＋BP＋PE＋BE＝(DP＋PE)＋(BP＋PC)＋DC＋BE＝DE＋BC＋DC＋BE＝6＋4.5＋3＋4.5＝18(cm)．
(2)若AD＝DC＝3 cm，BC＝4.5 cm，求△DCP与△BPE的周长之和．
13．如图，把两个大小完全相同的长方形堆成“L”形．
(1)指出图中的全等四边形和全等三角形；
解：四边形ABCD≌四边形AEFG，
△AFG≌△FAE≌△ACD≌△CAB.
(2)判断△AFC的形状．
解：因为△FAE≌△ACD，所以AF＝AC，∠FAE＝∠ACD.
因为四边形ABCD是长方形，所以∠ADC＝90°.
所以∠ACD＋∠CAD＝90°.
所以∠FAE＋∠CAD＝90°，即∠FAC＝90°.
所以△AFC是等腰直角三角形．
14．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD＝DE＋CE.
解：因为△BAD≌△ACE，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为AE＝AD＋DE，
所以BD＝DE＋CE.
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．
【点拨】对于探究条件的题目，可以猜想出条件后，由条件推出题目的结论，也可以将题目中的结论当作条件，这样推出的结论即为题目要探究的条件．
解：当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由：因为△BAD≌△ACE，所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
易知∠BDE＝90°，所以∠CEA＝∠BDE＝90°.
所以BD∥CE.(共27张PPT)
3 探索三角形全等的条件
第3课时 用两边及其夹角的关系判定三角形全等
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
A
5
夹角；边角边；SAS；AB；∠A′；AC
6
7
8
9
见习题
C
见习题
10
C
A
C
B
见习题
11
12
见习题
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见习题
13
见习题
14
见习题
1．两边及其______分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“______”．
其书写模式为：
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′.
夹角
边角边
SAS
AB
∠A′
AC
2．【教材P103随堂练习T1变式】如图所示的三角形中全等的是( )
A．①与②
B．②与③
C．①与③
D．①②③
A
3．【2020·永州】如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判定△ABC≌△DCB的方法是( )
A．SAS B．AAS
C．SSS D．ASA
A
4．【2021·重庆A】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D
C．AC＝DF D．AC∥FD
C
··
5．【教材P104习题T2变式】【2021·宜宾】如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD.试说明：△AOB≌△COD.
解：因为∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，
即∠COD＝∠AOB.
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
6．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，若∠B＝30°，则∠D的度数为( )
A．20° B．30°
C．40° D．无法确定
B
7．【教材P104习题T1变式】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，下列结论不正确的是( )
A．∠BAD＝∠CAE
B．△ABD≌△ACE
C．AB＝BC
D．BD＝CE
C
···
8．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C
9．【2021·大连】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.试说明：BC＝EF.
解：因为AD＝BE，所以AD＋BD＝BE＋BD.
即AB＝DE.
因为AC∥DF，所以∠A＝∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SAS)．
所以BC＝EF.
10．【2021·福建】如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF.试说明：∠B＝∠C.
解：因为DE⊥AC，DF⊥AB，
所以∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，
所以△BDF≌△CDE(SAS)．
所以∠B＝∠C.
11．【2020·无锡】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.
(1)试说明：△ABF≌△DCE；
解：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.
因为BE＝CF，所以BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.
因为AB＝CD，∠B＝∠C，BF＝CE，
所以△ABF≌△DCE.
(2)试说明：AF∥DE.
解：因为△ABF≌△DCE，
所以∠AFB＝∠DEC.
所以∠AFE＝∠DEF.
所以AF∥DE.
12．【2021·杭州】在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.
若________，试说明：BE＝CD.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
(提示：在一个三角形中，如果两边相等，那么这两边所对的角相等；如果两角相等，那么这两角所对的边相等)
解：①
说明：因为∠ABC＝∠ACB，所以AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(SAS)，
所以BE＝CD；
或②
说明：因为∠ABC＝∠ACB，所以AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(ASA)，
所以BE＝CD；
或③
说明：因为∠ABC＝∠ACB，所以AB＝AC，
因为FB＝FC，所以∠FBC＝∠FCB，
所以∠ABC－∠FBC＝∠ACB－∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(ASA)．所以BE＝CD.
13．【教材P101想一想改编】【2021·铜仁】如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B.请你在上述三个条件中选择两个作为条件，另一个作为这两个条件推出来的结论，并说明你的结论(只要求写出一种正确的选法)．
(1)你选的条件为________、________，
结论为________；
①
③
②
(2)说明你的结论．
【点拨】答案不唯一．
解：在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(AAS)，
所以AC＝BD.
14．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线．
试说明： (AB－AC)＜AD< (AB＋AC)．
解：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
因为AD是BC边上的中线，所以CD＝BD.
在△ACD和△EBD中，
所以△ACD≌△EBD(SAS)．
所以AC＝EB.
在△ABE中，AB－BE＜AE素养集训
1．解三角形中计数问题的三种常用方法
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
见习题
5
(1)3 (2)6
6
7；2 021
见习题
37
1＋3＋5＋7＝42；
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
1．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．
(1)其中以AB为一边可以画出________个三角形；
(2)其中以C为顶点可以画出________个三角形．
3
6
2．如图，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE.数一数，图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的．
解：题图中共有21个三角形．
我们可以按基本图形计数：
以1个三角形为基本图形的有6个三角形；
以2个三角形组成的三角形为基本图形的有5个三角形；
以3个三角形组成的三角形为基本图形的有4个三角形；
以4个三角形组成的三角形为基本图形的有3个三角形；
以5个三角形组成的三角形为基本图形的有2个三角形；
以6个三角形组成的三角形为基本图形的有1个三角形．
所以题图中共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)三角形．
3．看图填空．
(1)如图①，当△ABC内部有1条线段(AD)时，共有________个三角形；
(2)如图②，当△ABC内部有2条线段(AD，AE)时，共有________个三角形；
3
6
(3)如图③，当△ABC内部有3条线段(AD，AE，AF)时，共有________个三角形；
(4)当△ABC内部有4条这样的线段时，共有______个三角形；
10
15
(5)当△ABC内部有n条这样的线段时，共有________个三角形．
【点拨】本题利用了从特殊到一般的思想．当三角形内部有n条这样的线段时，三角形的个数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1.
设S＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1，①
即S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n＋1)．②
①＋②，得：
2S＝(n＋2)＋(n＋2)＋…＋(n＋2)．
【答案】
4．【中考·连云港】观察如图所示的图形，根据其变化规律，可知第10个图形中三角形的个数为________．
37
5．阅读材料，并填表．
在△ABC中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图)．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
△ABC内点的个数 1 2 3 … 1 010
构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …
7
2 021
6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．
三角形 层数 内部不再含三角形的三角形个数
1 1＝12
2 1＋3＝22
3 1＋3＋5＝32
4
… … …
n
1＋3＋5＋7＝42；
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(共25张PPT)
1 认识三角形
第2课时 三角形的三边关系
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
A
5
相等；相等；正三角形
6
7
8
9
C
＞；＞；＞；＞；大于；小于
C
10
5(答案不唯一)
底边和腰不相等；等边
C
A
D
11
12
13
见习题
14
15
见习题
答案显示
见习题
B
见习题
16
见习题
1．有两边________的三角形叫做等腰三角形；三边都________的三角形是等边三角形，也叫____________．
相等
相等
正三角形
2．△ABC的三边长a，b，c满足关系式(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．无法确定
A
3．三角形按边分类：
底边和腰不相等
等边
4．三角形按边可分为( )
A．等腰三角形、直角三角形、锐角三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．等腰三角形、等边三角形
C
5．下列说法正确的有( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
C
6．一个三角形的三边长之比是2∶2∶1，周长是10，此三角形按边分是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．以上都不对
A
7．如图，在△ABC中，
因为两点之间线段最短，
所以AB＋AC___BC，BC＋AC___AB，
因此有BC＋AC___AB___BC－AC.(填“＞”“＜”或“＝”)
由此可得，三角形任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边．
＞
＞
＞
大于
小于
8．【2021·柳州】若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．(写出一个即可)
5
(答案不唯一)
9．【教材P86随堂练习T2变式】【2021·宜宾】若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
C
10．【教材P86习题T1变式】【中考·徐州】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．2，2，4 B．5，6，12
C．5，7，2 D．6，8，10
D
11．【教材P87习题T2变式】【2020·毕节】已知等腰三角形两边的长分别为3和7, 则此等腰三角形的周长为( )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
【点拨】分两种情况讨论：若底边长为3，腰长为7，则此等腰三角形的周长为3＋7＋7＝17；
若底边长为7，腰长为3，因为3＋3＜7，不符合三角形的三边关系，所以此等腰三角形不存在．
【答案】 B
12．已知a，b，c分别是三角形的三条边长，试化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|.
解：因为a，b，c分别是三角形的三条边长，
所以b＋c－a>0，b－c－a＝b－(c＋a)<0，c－a－b＝c－(a＋b)<0，a－b＋c>0，
所以|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c＝2b.
13．【教材P87习题T2拓展】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
(2)用这条细绳能围成其中一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
解：能．当腰长为4 cm时，底边长为18－4－4＝10(cm)．
因为4＋4<10，所以不能围成腰长为4 cm的等腰三角形．
当底边长为4 cm时，腰长为 ×(18－4)＝7(cm)．
此时能围成等腰三角形，其他两边的长分别为7 cm，7 cm.
14．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O.
试说明：AC＋BD＞ (AB＋BC＋CD＋DA)．
解：在△OAB中，有OA＋OB＞AB；
在△OAD中，有__________________；
在△ODC中，有__________________；
在△________中，有__________________，
所以OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OB＋OC＞AB＋BC＋CD＋DA，即______________________________．
所以AC＋BD＞ (AB＋BC＋CD＋DA)．
OA＋OD＞AD
OD＋OC＞CD
OBC
OB＋OC＞BC
2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA
15．在平面内，分别将3根、5根、6根……火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
火柴棒根数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴棒能搭成三角形吗？
(2)8根、12根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
解：4根火柴棒不能搭成三角形．
8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示．
12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，
示意图如图②所示．
16．【教材P111复习题T10拓展】某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架用于养鱼，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
解：设第三根木棒的长为x m，由三角形的三边关系可得5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.
故有规格为3 m，4 m，5 m，6 m的四种木棒可供小明的爷爷选择．
解：选择规格为3 m的木棒最省钱．
(2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？(共25张PPT)
1 认识三角形
第1课时 三角形及其内角性质
第四章 三角形
北师版 七年级下
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1
2
3
4
C
5
(1)三 (2)顺次
6
7
8
9
D
锐角；钝角；直角
D
10
D
△CDF，△BCD;△BEF；∠BCE；CE；△ABD，△ACE，△ABC
180°；一；一
B
互余；Rt△；Rt△ABC
11
12
13
B
14
15
见习题
答案显示
C
C
100
16
17
18
见习题
见习题
见习题
1．已知线段AB，BC，CA组成的图形如图所示，则此图形为三角形(记为△ABC)，则三角形具有的结构特征如下：
(1)由不在同一直线上的________条线段组成；
(2)三条线段首尾______相接．
三
顺次
2．【易错题】图中的三角形共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
C
3．如图，以CD为公共边的三角形有________________；∠EFB是________的内角；在△BCE中，BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；以∠A为公共角的三角形有________________________________．
△CDF，△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABD，△ACE，△ABC
4．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角．
180°
一
一
5．【教材P84习题T1拓展】【2021·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
D
6．【2021·宿迁】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
7．三角形按角分类，可分为________三角形、________三角形和________三角形．
锐角
钝角
直角
8．【教材P82议一议变式】如图，三角形被遮住一部分，这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
D
9．【中考·杭州】在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( )
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
【点拨】因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，设∠A＝∠C－∠B，
所以2∠C＝180°.所以∠C＝90°.
所以△ABC中必有一个内角等于90°.
【答案】 D
10．直角三角形的两个锐角______．直角三角形可以用符号“______”表示，直角三角形ABC可以写成__________．
互余
Rt△
Rt△ABC
11．【教材P84习题T4变式】【2021·乐山】如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为( )
A．120° B．130°
C．140° D．150°
C
12．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．70° B．75°
C．80° D．85°
B
13．下面是小强用三根火柴棒分别组成的图形，其中符合三角形定义的是( )
C
14．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD，交于点F.问：
(1)图中有多少个三角形？并把它们表示出来．
解：题图中有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.
(3)以AB为边的三角形有哪些？
(4)以F为顶点的三角形有哪些？
(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
解：△BDF的三个顶点是B，D，F，
三条边是BD，DF，BF.
以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.
以F为顶点的三角形有△BDF，△ABF，△AEF.
15．【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
100
解：因为∠ACB＝80°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°.
又因为∠CAD＝∠D，∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°，所以∠CAD＝∠D＝40°.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠D＝180°－46°－40°＝94°.
16．如图，在△ABC中，已知∠B＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至点D，使∠CAD＝∠D.求∠BAD的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.
(1)试说明：△ACD是直角三角形；
解：因为∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.
因为∠ACD＝∠B，所以∠A＋∠ACD＝90°.
所以∠ADC＝90°，即△ACD是直角三角形．
解：如图，∠AEC＝∠CFE.
理由：因为AE平分∠CAB，所以∠CAE＝∠BAE.
因为∠ADC＝90°，所以∠BAE＋∠AFD＝90°.
因为∠ACB＝90°，所以∠CAE＋∠AEC＝90°.
所以∠AEC＝∠AFD.
又因为∠AFD＝∠CFE，所以∠AEC＝∠CFE.
(2)画出△ABC的角平分线AE，交CD于点F，试判断∠AEC和∠CFE的数量关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC.
(1)若∠B＝50°，∠C＝30°，则∠DAE＝________；
(2)若∠B＝60°，∠C＝20°，则∠DAE＝________；
10°
20°
(3)由(1)(2)猜想∠DAE与∠B，∠C之间的关系为_____________________，请说明理由．