2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.2直角三角形同步作业题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》同步课后作业题（附答案）
1．如果直角三角形两条直角边分别是9，12，那么斜边上中线是　 　．
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　 　．
3．若等腰三角形腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形的底角为　 　度．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是　 　．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝6cm，则AB的长为　 　cm．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝　 　cm．
7．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　 　．
8．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB于E，交BC于D，连接AD，则DE的长为　 　．
10．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于　 　．
11．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则△POM的面积为　 　．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为　 　．
14．如图，△ACD中，点B在边CD上，BC＝BA，∠C＝2∠BAD，DE垂直于AB的延长线于点E，AE＝16，CD＝22，则边AD的长为 　 　．
15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
16．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB．
17．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
18．如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．
19．如图，△ABC中∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB＝8，求AC的长．
20．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
参考答案
1．解：∵直角三角形两条直角边分别是9，12，
∴斜边长为：＝15，
∴×15＝7.5，
故答案为：7.5．
2．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，
∴斜边的长＝2×2＝4cm．
故答案为：4cm．
3．解：
若该三角形为钝角三角形，如图1，AB＝AC＝4，
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵BD＝2，AB＝4，
∴∠BAD＝30°，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝15°，
若该三角形为锐角三角形，如图2，AB＝AC，
过B作BD⊥AC交AC于点D，
∵AB＝4，BD＝2，
∴∠A＝30°，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝75°，
综上可知该三角形的底角为15°或75°，
故答案为：15或75．
4．解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×6＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝（90°﹣30°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴底边BC上的高AE＝AD＝3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴底边上的高为×6＝3，
综上所述，底边上的高是3或3．
故答案为：3或3．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD＝6cm，
∴AB＝2CD＝12cm．
故答案是：12．
6．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1.5cm，
可得BC＝2BD＝3cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3cm，
则AB＝2BC＝6cm．
故答案为：6．
7．解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝2，
∵PD＝PM，
∴PD＝2．
故答案为：2．
8．解：在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD，
由勾股定理得，BD2＝CD2+BC2，
解得，BD＝2，
∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝2，故答案为：2．
9．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，即CD＝BD，又BC＝3，
∴BD＝2，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝1，故答案为：1．
10．解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；
当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；
所以此三角形的底角等于75°或15°．
故答案为：75°或15°．
11．解：如图，作PD⊥MN于D．
∵∠AOB＝60°，
∴OD＝OP＝6，
∴PD＝＝6．
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5，
∴S△POM＝OM PD＝×5×6＝15．故答案为15．
12．解：方法一、∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
若要使BF最大，则AF需要最小，
∴FD⊥BD，
∴AB＝AF+2AF＝4，
∴AF＝，
∴BF的最大值为4﹣＝，
方法二：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，
∴FH＝BF＝2﹣x，
∴x≥2﹣x，
解得x≥，
∴AF最小值为，BF的最大值为4﹣＝，
故答案为：．
13．解：∵点A（﹣2，0），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
设点C的坐标为（x，x），
①当∠ACB＝90°时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∵OD2+CD2＝OC2，
∴x2+（x）2＝22，
解得x＝1（负值舍去），
∴OD＝1，CD＝，
∴点C的坐标为（1，）；
②当∠ABC＝90°时，如图，
∴x＝OB＝2，
∴BC＝x＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述：点C的坐标为（1，）或（2，2）．
故答案为：（1，）或（2，2）．
14．解：过D点作DF∥AC交AE延长线于F，在AB上取点G，使得AG＝DG，连接DG，
∵DF∥AC，
∴∠F＝∠CAB，∠BDF＝∠C，
∵BC＝BA，
∴∠C＝∠BAC，
∴∠F＝∠BDF，
∴BF＝BD，
∴AF＝CD＝22，
∵AE＝16，
∴EF＝6，
∵AG＝DG，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠DGF＝2∠DAB，
∵∠C＝2∠BAD，
∴∠DGE＝∠C＝∠F，
∴DG＝DF，
∴GE＝EF＝6，
∴AG＝DG＝10，
∴DE＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD＝，
故答案为8．
15．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
16．（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
30°；
（2）证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB．
17．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
18．证明：如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，
∴DG＝EG＝BC，
∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
19．解：∵AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，
∴AD＝BD＝8，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝AD＝4，
答：AC的长是4．
20．解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．
证明如下：
由题意知∠CAD+∠ACD＝90°，
∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE．
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．