2021-2022学年人教版数学八年级下册第十七章17.2勾股定理的逆定理 同步习题（word版 含解析）

人教版数学八年级下册第十七章17.2勾股定理的逆定理
一、选择题
如图，有一个水池，水面是一边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．
A.
B.
C.
D.
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为厘米，高为厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．
A.
B.
C.
D.
如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是
A. B. C. D.
如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是．
A. B. C. D.
如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
中，，，的对边分别是，，下列命题中的假命题是
A. 如果，则是直角三角形
B. 如果，则是直角三角形，且
C. 如果，则是直角三角形
D. 如果，则是直角三角形
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
线段、、的长度分别如下，能够以、、为边长构成直角三角形的一组是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
在下列各组数中，是勾股数的是
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
下列各组数中，不是勾股数的一组是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
下列五组数：、、、、、、、、、、，其中是勾股数的组数为
A. B. C. D.
二、填空题
若两组勾股数从小到大依次是，，和，，，则的值是______．
一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为______．
如图，是一块地，，，，，，则这块地的面积为______．
如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处．若，点与点的高度差，水平距离，则点与点的高度差为______．
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路假设步为米，却踩伤了花草．
三、解答题
如图，已知某开发区有一块四边形空地，现计划在该空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
如图，沿方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，，那么另一边开挖点离多远正好使、、三点在一直线上取，结果取整数？
如图，是的中线，，，，求长．
如图，在四边形中，，，，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度，
答：芦苇长尺．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，
在中，，米，米，
．
在中，，米，，
，
，
，
米，
米．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，
筷子露在杯子外面的长度至少为，
故选：．
首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，
在中，
根据勾股定理得出：，
，
在中，
，
阴影部分面积是：
，
故选A．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，的长是．
故选：．
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据三角形内角和定理，可求出角为度，故正确；
B. 解得应为度，故错误；
C. 化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故正确；
D. 设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三内角分别为：度，度，度，则是直角三角形，故正确．
故选B
8.【答案】
【解析】解：因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
B.因为，所以三条线段能组成直角三角形；
C.因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
D.因为，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：、、不能构成三角形，不能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
，能构成直角三角形．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、，是勾股数，故本选项符合题意．
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：、，不是勾股数，此选项正确；
B、，都是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
C、，都是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
D、，都是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】 中
中的数不全是正整数
中
中
中．
故有组勾股数．
13.【答案】
【解析】解：两组勾股数从小到大依次是，，和，，，
，，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：三角形的三边长的比为：：，
设三角形的三边长分别为，，．
其周长为，
，解得，
三角形的三边长分别是，，．
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：．
先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如右图所示，连接，
，
，
，
又，，
，
是直角三角形，
．
故答案为：．
先连接，在中，利用勾股定理可求，进而求出，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形，再利用，即可求地的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．关键是根据，构造直角三角形，并证出是直角三角形．
16.【答案】
【解析】解：作于，于，易得，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
米，
设米，
在中，，即，
解得．
则米．
故答案为：．
作于，于，根据可证≌，根据全等三角形的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，可求，再根据线段的和差关系和等量关系可求点与点的高度差．
考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
17.【答案】
【解析】解：如图
在中，，
．
则少走的距离是步．
故答案为．

18.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，

．
所以需费用元．
19.【答案】解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．
【解析】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用．关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
根据三角形内角与外角的关系可求出的度数，再根据勾股定理即可求出的长．
20.【答案】解：是的中线，且，
．
，即，
是直角三角形，则，
又，
．
21.【答案】解：连接，
，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，属于基础题．
连接，则可以计算的面积，根据勾股定理的逆定理可以判定为直角三角形，即可得解．
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