人教版八年级数学下学期 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下学期 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 142.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-18 18:21:29 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理的逆定理
一．选择题
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．4，5，6 C．5，12，13 D．1，2，
2．下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．，，2 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．3，4，5
3．下列说法中不正确的有（ ）种．
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是9；
②长为7，24，25的三条线段能够组成直角三角形；
③在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则斜边上的中线长为5；
④等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是13．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列说法正确的是（ ）
A．2，3，是一组勾股数
B．估算得
C．无理数是无限小数
D．在海面上知道一个方位角就可以确定一个目标的位置
6．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、5 B．5、12、13 C．7、24、25 D．7、9、13
7．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
8．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
10．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三角形的三边长满足关系a+b＝c
B．三角形的三边长之比2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
二．填空题
11．已知△ABC的三边的长分别是AB＝5、BC＝4、AC＝3，那么∠C＝ ．
12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
13．如图，有一块四边形草地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m．则该四边形草地的面积是 ．
14．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则△ABC的面积为 ．
15．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
三．解答题
16．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．
17．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
19．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
D、12+22＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：A、∵不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴这一组数是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：
∵∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
设C到AB的距离为h，则有AB h＝AC BC，
即15h＝9×12，解得h＝7.2，
∴C到AB的距离为7.2，
∴①不正确；
∵72+242＝625＝252，
∴长为7，24，25的三条线段能够组成直角三角形，
∴②正确；
∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，并未说明哪条边是斜边，
∴斜边上的中线不一定等于5，也可能等于3或4，
∴③不正确；
当腰长为3时，三角形的三边为3、3、5，满足三角形三边关系，此时周长为3+3+5＝11，
当腰长为5时，三角形的三边为5、5、3，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+3＝13，
∴其周长为11或13，
∴④不正确；
综上可知不正确的为①③④，共3个，
故选：C．
4．解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
5．解：A、勾股数必须是正整数，故此选项错误；
B、∵＞2，＜＝2，
∴＞，故此选项错误；
C、无理数是无限小数，故此选项正确；
D、在海面上知道一个方位角就可以确定一个目标的位置，说法错误，还需要知道距离；
故选：C．
6．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、72+92≠132，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
8．解：①中有92+122＝152；
②中有72+242＝252；
③中（32）2+（42）25≠（52）2；
④中52+122＝132；
所以可以构成3组直角三角形．
故选：C．
9．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
10．解：A、三角形的三边满足关系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B、∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵△ABC中，AB＝5、BC＝4、AC＝3，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°．
故答案为：90°．
12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案是：1.5．
13．解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，
∴AC＝＝5（m），
S△ABC＝×3×4＝6（m2），
在△ACD中，
∵AD＝13m，AC＝5m，CD＝12m，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝×5×12＝30（m2）．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36（m2）．
故答案为：36m2．
14．解：∵a2+＝10a﹣25，
∴a2﹣10a+25+＝0，
∴（a﹣5）2+＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝5，b＝3，
∵直角三角形的两边a，b，
∴当a、b为直角边时，△ABC的面积为：3×5÷2＝7.5，
当a是斜边时，另一条直角边长是：＝4，则△ABC的面积为：3×4÷2＝6，
故答案为：7.5或6．
15．解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
三．解答题
16．解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
答：旗杆的高度为12米
17．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
18．解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
19．解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，
∴AC＝5米，
∵CD＝12米，DA＝13米，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（米2）．
一．选择题
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．4，5，6 C．5，12，13 D．1，2，
2．下面三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．，，2 B．0.3，0.4，0.5
C．32，42，52 D．3，4，5
3．下列说法中不正确的有（ ）种．
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是9；
②长为7，24，25的三条线段能够组成直角三角形；
③在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则斜边上的中线长为5；
④等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是13．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6 B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．下列说法正确的是（ ）
A．2，3，是一组勾股数
B．估算得
C．无理数是无限小数
D．在海面上知道一个方位角就可以确定一个目标的位置
6．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ）
A．3、4、5 B．5、12、13 C．7、24、25 D．7、9、13
7．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
8．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
10．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三角形的三边长满足关系a+b＝c
B．三角形的三边长之比2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
二．填空题
11．已知△ABC的三边的长分别是AB＝5、BC＝4、AC＝3，那么∠C＝ ．
12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
13．如图，有一块四边形草地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m．则该四边形草地的面积是 ．
14．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则△ABC的面积为 ．
15．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
三．解答题
16．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．
17．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
19．老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
D、12+22＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：A、∵不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，∴这一组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴这一组数是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：
∵∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
设C到AB的距离为h，则有AB h＝AC BC，
即15h＝9×12，解得h＝7.2，
∴C到AB的距离为7.2，
∴①不正确；
∵72+242＝625＝252，
∴长为7，24，25的三条线段能够组成直角三角形，
∴②正确；
∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，并未说明哪条边是斜边，
∴斜边上的中线不一定等于5，也可能等于3或4，
∴③不正确；
当腰长为3时，三角形的三边为3、3、5，满足三角形三边关系，此时周长为3+3+5＝11，
当腰长为5时，三角形的三边为5、5、3，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+3＝13，
∴其周长为11或13，
∴④不正确；
综上可知不正确的为①③④，共3个，
故选：C．
4．解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
5．解：A、勾股数必须是正整数，故此选项错误；
B、∵＞2，＜＝2，
∴＞，故此选项错误；
C、无理数是无限小数，故此选项正确；
D、在海面上知道一个方位角就可以确定一个目标的位置，说法错误，还需要知道距离；
故选：C．
6．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、72+92≠132，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
8．解：①中有92+122＝152；
②中有72+242＝252；
③中（32）2+（42）25≠（52）2；
④中52+122＝132；
所以可以构成3组直角三角形．
故选：C．
9．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
10．解：A、三角形的三边满足关系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；
B、∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵△ABC中，AB＝5、BC＝4、AC＝3，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°．
故答案为：90°．
12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案是：1.5．
13．解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，
∴AC＝＝5（m），
S△ABC＝×3×4＝6（m2），
在△ACD中，
∵AD＝13m，AC＝5m，CD＝12m，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD＝×5×12＝30（m2）．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36（m2）．
故答案为：36m2．
14．解：∵a2+＝10a﹣25，
∴a2﹣10a+25+＝0，
∴（a﹣5）2+＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝5，b＝3，
∵直角三角形的两边a，b，
∴当a、b为直角边时，△ABC的面积为：3×5÷2＝7.5，
当a是斜边时，另一条直角边长是：＝4，则△ABC的面积为：3×4÷2＝6，
故答案为：7.5或6．
15．解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
三．解答题
16．解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
答：旗杆的高度为12米
17．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用＝＝5040（元）．
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
18．解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
19．解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，
∴AC＝5米，
∵CD＝12米，DA＝13米，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（米2）．