苏教版（2019）高中数学必修第二册9.2.2《向量的数乘--向量共线定理的应用》专题练一（Word含解析）

《平面向量共线定理的应用》专题练一
主要考查平面向量共线定理
类型一：向量共线定理的运用
对于向量a，b，若a与b共线(b≠0)，则存在实数，使a＝b.
1．已知向量、不共线，，，若，则______.
2．已知向量e1≠0，，a＝e1＋e2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)
A． B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或
3．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
4．已知向量a，b不共线，且c＝a＋b，d＝a＋(2－1)b，若c与d共线反向，则实数的值为(　　)
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－
类型二：判断（证明）向量共线
对于向量a，b，若存在实数，使a＝b(b≠0)，则a与b共线
5.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
6．设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
类型三：求参数的值
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值（注意三点共线定理的运用）
7．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则________.
8．已知是不共线的向量，，若A,B,C三点共线，则满足（ ）
A． B． C． D．
9. 已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A. B. C. D.
10.(2019·山西师大附中模拟)在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．4
11．已知非零向量与不共线，.
（1）若，求t的值；
（2）若A、B、C三点共线，求t的值.
类型四：判断（证明）三点共线
若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线
12．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上
13. 已知为任意两个非零向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. A，B，D三点共线 D. A，C，D三点共线
14．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
15．已知、、是不共线的三点，且．
（1）若，求证：、、三点共线；
（2）若、、三点共线，求证：.
16.设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
17．如图所示，在中，，，与相交于点.
（1）用，表示，；
（2）若，证明：B,M, E三点共线.
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证:M,N,C三点共线.
答案与解析
1.【解析】：因为，设，则，
因为，是两个不共线的平面向量，所以，解得.故答案为：.
2.【解析】：因为向量e1≠0，，a＝e1＋e2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，
使得a＝kb，所以e1＋e2＝2ke1，所以e2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或.故选D.
3.【解析】：由，共线，得a＋mb＝(na＋b)，即所以mn－1＝0.故选D.
4.【解析】：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是a＋b＝k[a＋(2－1)b]．
整理得a＋b＝ka＋(2k－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得，
解得或.又因为，所以，故.
5.【解析】：由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.
又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
6.【解析】:由条件可得，则关系式中正确的是，
故选B．
7.【解析】:.
因为A，B，D三点共线，所以，所以存在实数，使得，
即.
因为与是两个不共线向量，，解得.
8.【解析】:由A,B,C三点共线，则、共线，所以存在不为零的实数，使得
即 ，又因为是不共线的向量，
所以，消m解得，故选D.
9.【解析】：设E是BC边的中点，则(＋)＝，由题意得＝，
所以＝＝(＋)＝＋，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，故选B.
10.【解析】：＝，所以＝5.又＝m＋，所以＝m＋2，
由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，所以m＝－1.
11．【解析】:（1）因为，所以，
所以，因为，所以，所以；
（2）因为A、B、C三点共线，所以存在非零实数使，
所以即，
所以，因为与不共线，所以，所以.
12.【解析】：因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
13.【解析】：由已知得，所以，即A，B，D三点共线.故选C.
14.【解析】：选C.由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
15．【解析】:（1）若，则，所以，
即，所以，
又因为与有公共点，因此，、、三点共线；
因为A、、三点共线，则存在实数，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，所以，因此.
16.【解析】:(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.所以，共线，
又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数，使ka＋b＝(a＋kb)，
即ka＋b＝a＋kb，所以(k－)a＝(λk－1)b.
因为a，b是两个不共线的非零向量，所以，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
17.【解析】:（1）因为BC=4BD，所以 ，
所以.
因为，所以，所以.
（2）因为，所以 .
因为 ，所以，即与共线.
因为与的有公共点，所以B，E，M三点共线.
18．【解析】:在中，所以，所以.
因为点N是BD的三等分点，所以.
因为,所以①
因为M为AB的中点，所以，所以②
由①②可得.由共线向量定理知，
又因为与有公共点，所以M,N,C三点共线.
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