2021—2022学年人教版八年级数学下册18.2.3正方形课后练习（Word版含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学下册 第十八章平行四边形
18.2.3 正方形课后练习
一、选择题
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．每一条对角线平分一组对角
2．下列说法：①平行四边形的对角线互相平分；②菱形的对角线互相垂直平分；③矩形的对角线相等，并且互相平分；④正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，其中正确的是（ ）
A．①，② B．①，②，③ C．②，③，④ D．①，②，③，④
3．如图，将正方形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
6．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（ ）
A．6 B． C． D．5
8．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
9．如图，如果要证明四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．且 B．且
C．且 D．和互相垂直平分
10．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
二、填空题
11．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件_____，可得出该四边形是正方形．
12．如图，正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，若，则____________．
13．如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，，作交于F，则____________．
14．如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为_______．
15．如图，在正方形中，点为边的中点，点为对角线上一点，若，则的最小值为______．
三、解答题
16．如图，在菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，连接AE，EC，CF和FA．已知AB＝2，四边形AECF是正方形，求BD的长．
17．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．
18．如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．
（1）求线段CN的长；
（2）求以线段MN为边长的正方形的面积．
19．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF=CE．
（1）求证：；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．求证：HD=HB．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CF∥AB，交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）直接写出当Rt△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若DE＝1，求△AFE的面积．
22．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.
（1）若、、三点共线，求的长；
（2）求的面积的最小值.
23．如图，矩形的对角线交于点．
（1）求证：四边形是菱形，
（2）若，，试说明四边形的形状并求其面积．
【参考答案】
1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D 9．B 10．A
11．AB=BC
12．64°
13．
14．1
15．
16．解：连接AC，与BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC互相垂直且平分，
∵四边形AECF是正方形，
∴，
∵点E，F是对角线BD的三等分点，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得，即，
∴，
∴．
17．解：∵四边形ABCD是正方形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
18．解：（1）∵将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，
∴DN=NE，BE=EC=4，
设CN=x，则有DN=8-x，
∴在Rt△ECN中，，即，
解得，即CN=3；
（2）过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，交MN于点H，如图所示：
由题意可得AM=DG，MG=BC=CD，∠MGN=∠C=90°，
根据折叠的性质可得：DE⊥MN，
∴∠NMG+∠MHE=90°，
∵∠EDC+∠DHG=90°，∠DHG=∠MHE，
∴∠NMG=∠EDC，
∴△MNG≌△DEC（ASA），
∴MN=DE，
在Rt△DEC中，，
∴，
∴以MN为边的正方形面积为：．
19．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，
∵CE＝AF，
∴△DCE≌△DAF（SAS）；
（2）∵△DCE≌△DAF，
∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，
∴∠FDE＝∠ADF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴△DFE为等腰直角三角形，
∵DH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∴DH＝EF，
同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝EF，
∴HD＝HB．
20．解：（1）∵CF∥AB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE
∴△CEF≌△DEA（AAS）
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，且CF∥AB
∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
（2）当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵AC＝BC，CD是中线
∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形．
21．（1）证明：，
，
，
．
，，
．
（2）解：，
．
，，，
．
的面积为：．
22．（1）由旋转得：，，
∵是边的中点，∴.
在中，.
∴.
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴.
在和中
∴.
∴.
（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动.
过点作于点.
∵，
∴
当三点共线，最小，.
∴.
23．证明：（1），，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
是菱形；
（2）四边形为正方形．
∵是菱形，
∴，
又∵
∴，
∴菱形为正方形，
在矩形中，，，
∴，
∴正方形面积．