2021-2022学年苏科版九年级下册数学第7章锐角三角函数单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年苏科新版九年级下册数学《第7章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．3
3．若Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（　　）
A．sinA′＝sinA B．4sinA′＝sinA
C．sinA′＝4sinA D．不能确定
4．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，cosA＝，则tanA等于（　　）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，∠C＝90°，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC tanB＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．a为锐角，且sina＝0.6，则（　　）
A．0°＜a＜30° B．30°＜a＜45° C．45°＜a＜60° D．60°＜a＜90°
10．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
二．填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值是　 　．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝1，AB＝2，则tanB＝　 　．
13．如果方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为　 　．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　 　．
15．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　 　．
16．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　 sin50°．
17．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，那么sinB＝　 　．
18．比较大小：sin44°　 　cos44°（填＞、＜或＝）．
19．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝　 　．
20．在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 　 　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
23．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
24．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
26．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．
27．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AD＝BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，sin∠F＝，求DE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∵AB＝10、AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
2．解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴sinA＝，
故选：A．
3．解：Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′与Rt△ABC相似，
∴∠A＝A′，
∴sinA′＝sinA，
故选：A．
4．解：∵cosA＝＝，AC＝12，
∴AB＝13，BC＝＝5，
∴tanA＝＝．
故选：D．
5．解：如图，
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴tanA＝＝，
设BC＝4x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴cosB＝＝＝．
故选：A．
6．解：如图，cosA＝．
故选D．
7．解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠ABC＝∠ADC，∠ACB＝∠ADB，
∵∠AEB＝∠CED，∠AEC＝∠BED，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴＝，＝，
由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°，
∵DE＝2，OE＝3，
∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8，
tan∠ACB tan∠ABC＝tan∠ADB tan∠ADC＝＝＝＝＝＝4．
故选：C．
8．解：根据题意，知
0°＜∠B＜45°．
又sin45°＝，
∴0＜n＜．
故选：A．
9．解：∵sin30°＝0.5，sin45°＝≈0.71，
又sina＝0.6，
∴30°＜a＜45°．
故选：B．
10．解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴cosA＝＝．
故答案为：．
12．解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝，
∴tanB＝AC：BC＝．
13．解：解方程x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA＝；
②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边＝＝2，
∴tanA＝＝；
所以tanA的值为或．
14．解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
15．解：观察图形可知，tan∠BAC＝＝．
16．解：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°．
故答案为＜．
17．解：根据勾股定理可得：BC＝＝＝12，
∴sinB＝＝．
故答案是：．
18．解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为：＜．
19．解：设tanA＝＝＝，
由勾股定理，得
AB＝＝5a．
sinA＝＝＝，
故答案为：．
20．解：∵|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，
∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
∴cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝
23．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
24．解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；
（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）
（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．
25．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE． （3分）
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC． （4分）
∴．
∴DC＝BC． （5分）
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC＝＝3． （6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴．
∴，． （8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝． （10分）
26．（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
∵AB＝AO
∴∠ABO＝∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO
∴AB＝AO＝BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO＝∠ABO＝60°
∵AB＝AD
∴∠D＝∠ABD
又∠D+∠ABD＝∠BAO＝60°
∴∠ABD＝30°
∴∠OBD＝∠ABD+∠ABO＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB＝AD＝AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC＝90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝
∴
又∵S△BEF＝8
∴S△ACF＝18．
27．（1）证明：如图，连接CD，（1分）
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．（3分）
（2）证明：连接OD，（4分）
∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCO．
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO．
∴∠CDO＝∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDO+∠CDE＝90°．（5分）
即∠ODF＝90°．
∴DF是⊙O的切线．（6分）
（3）解：在Rt△DOF中，
∵sin∠F＝，
∴OF＝5．（7分）
∵OC＝3，
∴CF＝5﹣3＝2．
由（2）得∠DEA＝∠ODF＝90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴．（10分）
即．
∴DE＝．（11分）