2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形分类提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》知识点分类提升训练（附答案）
一．等腰三角形的性质
1．如果等腰三角形两边长是6 cm和12 cm，那么它的周长是（　　）
A．18 cm B．24 cm C．30 cm D．24或30 cm
2．若（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．12 C．9 D．9或12
3．等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）
A．65° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
4．若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
5．等腰三角形一腰长为5，面积为10，则这个等腰三角形底边长为 　 　．
6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，且AD＝3，BC＝8，则AB的长为　 　．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　 　度．
8．等腰三角形的一个角是70°，则它的一腰上的高与底边的夹角是 　 　．
9．如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠DEF＝36°，则∠A＝　 　．
10．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管　 　根．
二．等腰三角形的判定
11．如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
12．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　）
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是正确的
13．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2）在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x＝　 　．
16．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有　 　个．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（2，﹣1），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有　 　个．
18．如图，l是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有　 　个．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在的直线上且BM＝CN，求证：△AMN是等腰三角形．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
参考答案
一．等腰三角形的性质
1．解：当12为腰，6为底时，12﹣6＜12＜12+6，能构成等腰三角形，周长为12+12+6＝30；
当6为腰，12为底时，6+6＝12，不能构成三角形．
故选：C．
2．解：∵（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝2，b＝5，
∴等腰三角形的三边长分别为2，2，5或2，5，5，
∵2+2＜5，2+5＞5，
∴边长分别为2，2，5的等腰三角形不存在，
∴以a、b为边长的等腰三角形的周长为2+5+5＝12，
故选：B．
3．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：D．
4．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故选：D．
5．解：如图，AB＝AC＝5，AD是BC边上的高，
∴BD＝，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
由勾股定理得BD2+AD2＝AB2，
即+AD2＝25，
∵S＝10，
∴AD＝，
∴＝25，
∴BC4﹣100BC2+1600＝0，
即（BC2﹣20）（BC2﹣80）＝0，
∴BC＝2或﹣2（舍去）或4或﹣4（舍去），
故答案为：2或4．
6．解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
故答案为：5．
7．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
8．解：如图：△ABC，AB＝AC，BD⊥AC
当底角为70°时，即∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°；
当顶角为70°时，即∠A＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣55°＝35°，
综上，它的一腰上的高与底边的夹角是20°或35°．
故答案为20°或35°．
9．解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，∠CBD＝2∠A；
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ECD＝∠A+∠CDA＝3∠A（外角定理）；
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠EDF＝∠A+∠AED＝4∠A；
又∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝4∠A，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣8∠A＝36°，
∴∠A＝18°．
故答案为：18°．
10．解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
二．等腰三角形的判定
11．解：∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝72°，
①∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵AB＝AC，DE∥BC，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
③∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABE＝36°，
∴AE＝BE，
∴△ABE为等腰三角形；
④∵∠ABC＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，
∠EBC＝∠EBD＝∠DEB＝36°，
∴DB＝DE，
∴△DBE是等腰三角形；
⑤∵∠C＝72°，∠EBC＝36°，
∴∠CEB＝72°，
∴∠C＝∠CEB，
∴BC＝BE，
∴△BCE为等腰三角形．
综上所述，图中的等腰三角形有5个；
故选：B．
12．解：“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；
A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE＝∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．
故选：C．
13．解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
14．解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；
以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，
则AP＝OP，
此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1＝4，
故选：C．
15．解：①当x+1＝2x+3时，解得x＝﹣2（不合题意，舍去）；
②当x+1＝9时，解得x＝8，则等腰三角形的三边为：9、19、9，因为9+9＝18＜19，不能构成三角形，故舍去；
③当2x+3＝9时，解得x＝3，则等腰三角形的三边为：4、9、9，能构成三角形．
所以x的值是3．
故填3．
16．解：∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
故答案为：3．
17．解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．
以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．
故答案为4．
18．解：如图，
当车长为底时，AB2＝AC2，得到的等腰三角形是△AB2C2；
当车长为腰时，BC＝BA，C1A＝C1B1，B3C3＝B3A，B4C4＝C4A，
综上，得到的等腰三角形共有5个．
故答案为：5．
19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
20．证明：作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵BM＝CN，
∴HM＝HN，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形．
21．解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝4cm，
当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t＝3（s）；
若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CH⊥AB于H，如图，CH＝，在Rt△BCH中，BH＝，
则PB＝2BH＝，
∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，此时t＝5.4s；
当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，
则BD＝CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP，即AP＝AB＝，
∴t＝4+＝（s）；
当BP＝BC时，△BCP为等腰三角形，即BP＝BC＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝2，
∴t＝4+2＝6（s），
综上所述，t为3s或5.4s或6s或s时，△BCP为等腰三角形．