2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.2直角三角形同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．下列说法中，正确的个数是（　　）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
3．如图△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（　　）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；
③点C到AB的垂线段是线段AB；
④线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑤线段AB是点B到AC的距离．
A．5 B．4 C．3 D．2
4．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（　　）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
5．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（　　）
A．90° B．135° C．120° D．45°或135°
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB＝10，则AC的长为（　　）
A．2.5 B．5 C．10 D．20
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，如果CD＝3，那么AB的长是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．12
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　）
①∠DCB＝∠A；②∠DCB＝∠ACE；③∠ACD＝∠BCE；④∠BCE＝∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小后变大 D．不变
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝1，则BC的长＝　 　．
12．如图，等边三角形ABC的边长为2，AD为BC边上的高，作DE⊥AB于点E，则AE的长是　 　．
13．在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线上一点，并且CD＝CA＝2cm，∠ADC＝15°，则BC＝　 　cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是　 　度．
15．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是　 　cm2．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
17．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
18．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF＝3，则△ABC的边长为多少？
20．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，
求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．
（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；
故选：B．
2．解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
3．解：∵∠BAC＝90°，
∴AB与AC互相垂直；故①正确；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，故②正确；
点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；
线段AB的长度是点B到AC的距离；故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
故选：C．
4．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选：B．
5．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
6．解：直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为：180°﹣90°×0.5＝180°﹣45°＝135°或180°﹣135°＝45°，
故选：D．
7．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝10，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，又∠C＝90°，
∴AC＝AD＝5．
故选：B．
8．解：∵∠C＝90°，点D为斜边AB上的中点，
∴AB＝2CD，又CD＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
9．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠BCD+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A，故①正确；
∵CE是斜边AB上的中线，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠A＝∠ACE，
∴∠DCB＝∠ACE，故②正确；
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCE，故③正确；
∵BC不一定等于BE，
∴∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误；
故选：C．
10．解：连接OP．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AP＝PB，
∴OP＝AB．
∵AB的长是定值，
∴OP是定值，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴AD＝BD＝1，
在Rt△DAC中，∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝3，
故答案为：3．
12．解：∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴∠B＝60°，BD＝1，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝BD＝，
∴AE＝AB﹣BE＝，
故答案为：．
13．解：∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD+∠D＝30°，
∵∠ABC＝90°，AD＝2cm，
∴AB＝AC＝1cm，
∴BC＝＝＝cm，
故答案为．
14．解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝90°×＝22.5°，
∠ACD＝90°×＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
15．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，
∴斜边＝2×6＝12cm，
∴面积＝×12×4＝24cm2．
故答案为：24．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
17．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝34°，
由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝56°，
由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；
②当∠B＝n°时，当n≤45时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°；
当n＞45时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠A'CD﹣∠BCD＝n°﹣（90°﹣n°）＝2n°﹣90°．
18．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝4.8．
19．解：连接AD，
∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝3，
∴DE＝DF＝1.5，
∴AD＝2DE＝3，
∴AB＝AD＝2，
故△ABC的边长为2．
20．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB，
∴BP＝AB＝7（海里）．
（2）作PD⊥AB于D，
∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠PAB＝15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠APB＝15°，
∴AB＝PB＝7海里，
∵∠PBD＝30°，
∴PD＝PB＝3.5＞3，
∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．