2021-2022学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》培优试题（Word版含答案）

第1章《直角三角形》培优试题2021-2022学年湘教版八年级数学下册
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．40° C．35° D．30°
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　）
A．41° B．42° C．43° D．44°
(
第
3题图
) (
第
2题图
)
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD
(
第
4题图
) (
第
3题图
)
5．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（　　）
A．15 B． C．9 D．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝2，b＝5，c＝5
C．a＝5，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
7．如图，直线a∥b，将含有45°的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠1＝
25°，则∠2的度数是（　　）
A．10° B．15° C．25° D．20°
(
第
7题图
) (
第
9题图
)
8．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
9．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　）
A．28 B．14 C．21 D．7
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②EF∥AB；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
(
第
11题图
) (
第
10题图
)
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC延长线上一点，∠ACD＝130°，则∠A等于 　 　度．
12．等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 　 　cm．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 　 　．
(
第
14题图
) (
第
13题图
)
14．如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，且BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．若AB＝5，AD＝4，则△ABE的周长为 　 　．
16．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　 　．
17．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．（不添加字母和辅助线）
(
第
18题图
) (
第
17题图
)
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝3，则AC的长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
22．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
24．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：；
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．
第1章《直角三角形》培优试题2021-2022学年湘教版八年级数学下册参考简答
一．选择题（共10小题）
1．B． 2．B． 3．B． 4．D． 5．D． 6．D． 7．D． 8．D．
9．A． 10．B．
二．填空题（共8小题）
11． 　40　． 12．　15　． 13． 　120°　． 14．　45°　．
15． 　　． 16．　36　． 17．　AB＝DC（答案不唯一）　． 18． 　9　．
三．解答题（共6小题）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
【解】：（1）∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
【解】：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，
∵S△ABC＝AB AC＝BC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴15×20＝25AD，
∴AD＝12；
∵AD⊥BC，
∴BD＝＝＝9．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【解】：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
22．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
【证明】：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，
而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．
23．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【解】：（1）全等，理由是：
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
24．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：；
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．
【解】：（1）∵DB＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°
又∵DA＝DF，
∴△BFD≌△ACD；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴BF＝AC，
又∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE＝AE＝AC，
∴CE＝AC＝BF；
（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE2+GE2＝BG2，
连接CG．
∵BD＝CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG＝CG，
在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，
∴CE2+GE2＝BG2．
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