2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.6.2直线与平面垂直课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
复习（提问）
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
直线与平面α相交
a∩α=A
有且只有一个公共点
直线与平面α平行a∥α 无公共点
直线在平面α内a α
有无数个公共点
α
l
P
8.6.2 直线与平面垂直
大桥的桥柱与水面有怎样的位置关系？
垂直
在阳光下观察直立于地面的旗杆和它在地面的影子.
A
B
α
B1
C1
C
B
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子
随着时间的变化，尽管影子BC位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直。即旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直。事实上旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也是垂直的.
A
B
α
B1
C1
C
B
*注：若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线。
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α互相垂直. 记作：l ⊥α
直线 l 叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线 l 的垂面,
l 与α的交点P叫做垂足
α
l
P
说明：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
直线和平面垂直的画法：
α
P
思考？
α
不一定垂直
如果一条直线 l 和一个平面α内的无数条直线都垂直，则直线 l 是否垂直于平面α？若垂直请说明理由，若不垂直请举出反例。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在桌面上（BD，DC与桌面接触），请问:
(1)AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD与桌面所在平面α垂直
A
B
C
D
探究: P65
D
B
A
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
a
B
D
C
A
探究: P65
（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗
（2）折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD, AD⊥BD，由此你能得到什么结论
D
B
A
C
a
B
D
C
A
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
P
m
n
l
α
定理简记为：线线垂直，则线面垂直。
两条相交直线
a
b
例3.求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

，
m
a
b
n
一、直线和平面垂直的判定：
1.定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
*2.两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
*3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.

，
即：
1.点在平面内的射影
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影.
P

A
二、斜线在平面内的射影
2.平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点A叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段PA叫做这点到这个平面的斜线段.

平面的斜线
A
斜足
P
点P到平面的斜线段

3.斜线或斜线段在平面内的射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
垂足与斜足间的线段OA叫做这点P到平面的斜线段PA在这个平面内的射影.
O
A
P
直线OA为斜线PA在平面内的射影
线段OA为斜线段PA在平面内的射影
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。
注：直线和平面所成角的范围是0 ≤θ≤90
三、直线和平面所成的角
P
A
O
例4：在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求：直线A1B和平面A1B1CD所成的角；
A
B
C
D
A
D
1
1
1
B1
C
O
解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O，
∴A1B1⊥平面BCC1B1
∴A1B1⊥BC1
∵ BCC1B1为正方形，
∴B1C⊥BC1
∵A1B1∩B1C=B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD
∴∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角，且∠BOA1=90°，
∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1
即BO⊥平面A1B1CD
中
外
垂
P
C
B
A
O
请看课本P152：练习4
观察：
（1）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
A
B
C
D
A
D
1
1
1
1
B
C
（2）如图，已知直线a、b和平面α，如果a⊥平面α，b⊥平面α，那么，直线a、b一定平行吗？
a
b
α
平行
判断：若有 是否正确？
反证法证明命题的一般步骤：
否定结论 推出矛盾 肯定结论
用反证法证明
证明：假定b与a不平行，
设 是经
过点O与直线a平行的直线。
这样,经过同一点O的两直线 ， 都垂直于平面
，这显然是不可能的，
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：
说明：可由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，性质定理揭示了“平行”与“垂直”的内在联系。
直线与平面垂直的性质1：
直线与平面垂直的性质2：
若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线。
判断下列命题是否正确
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行（ ）
（2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行（ ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直（ ）
√
√
√
1.已知直线a、b和平面α，且a⊥b ，a⊥平面α，则b与平面α位置关系是________________
请看课本P155：练习1
学以致用：