北师大版数学九下1.1锐角三角函数 教案
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九下1.1锐角三角函数 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-18 19:24:46 | ||
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文档简介
“§1.1锐角三角函数 第一课时 正切”教学设计
教学目标：
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系．
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切进行简单的计算.
3.逐步学会利用数形结合,从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.
教学重点与难点：
重点：
1.理解正切的概念.
难点：
1.理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.
教法与学法指导：
试验探究法．通过实际生活中的现象和例子，用多媒体进行展示，进而引导学生进行分析讨论，总结出正切的概念，再结合适量的练习加以巩固提高；鼓励学生从生活中发现数学的重要性，课堂上以独立发现和总结规律为主，同时配合小组讨论和探究，争取正确地掌握正切的概念，以及运用上述知识解决实际问题．
课前准备：多媒体课件．
三、教学过程
（一）联系生活，导入新课
教师用多媒体展示生活中一些与梯子相关的图片后，导人新课：
同学们！梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？
生：倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．
师：是的，在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？今天，我们对这个问题继续进行深入研究（板书课题）．
活动目的：由学生熟悉的梯子引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动．
（二）研究问题，探索新知
1．做一做
教师用多媒体展示图1．
图1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样剡断的？
师：请同学们独立思考后举手回答．
生：因为这两个梯子的竖直高度相同，而梯子EF的水平宽度比梯子AB的小，所以梯子EF更陡．
师：很好．
教师用多媒体展示图2．
图2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生：因为这丽个梯子的水平宽度相同，而梯子EF的竖直高度比梯子AB的小，所以梯子AB更陡．
教师用多媒体展示图3．
图3中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生：（七台讲解）由图可知，在这两个三角形中，两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个三角形相似，因此，梯子AB与地面的夹角和梯子EF与地面的夹角相等，所以两个梯子一样陡，
教师用多媒体展示图4．
图4中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生1：图3中两个梯子的竖直高度和水平宽度的比是相等的，我们得到两个梯子一样陡．因此我猜想图4也可以用这种方法来判断：梯子AB的竖直高度与水平宽度的比值大，所以我判断梯子AB更陡．
师：这只是猜想，如何验证呢？
生2：我们把梯子EF按照原来的样子放在左图中，然后过点E作E1F∥AB，由三角形相似，容易得到EF1的水平宽度是，所以梯子AB更陡．
生3：我们也可以把梯子EF按照原来的样子放在左图中，然后过点F作E1F∥AB，由三角形相似，容易得到E1F的竖直高度是4.5>4，所以梯子AB更陡，
生4：也可以过点A或B作EF的平行线．
师：非常好！可是，为什么要这样做呢？
生5：梯子AB和EF的竖直高度和水平宽度都不同，我们只要能转化为竖直高度相同或水平宽度相同就可以了．这样做的前提是不改变梯子的倾斜程度，所以要作平行线.
师：讲得十分精彩！下面我们回顾、反思一下刻画梯子倾斜程度的方法，看看谁能够有新的发现！（用多媒体出示下图）
生：归纳各种情况，可以发现：竖直高度和水平宽度的比值越大，梯子越陡．
活动目的：从图1到图4，四个问题由浅入深，由简单到复杂，步步深入，环环相扣，引人人胜．学生们在用生活常识和有关知识解决问题时，非常自然地感悟了用“竖直高度和水平宽度的比值”来刻画梯子的倾斜程度．
2．想一想
如图9，小明想通过测量B1C1及A1C1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及A2C2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
生：同意．
师：为什么？
生1：显然Rt△AB1C1和Rt△AB2C2相似，所以和相等．
师：如果改变B2的位置呢？
生2：B2无论在什么位置，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2都相似，所以和相等．
师：由此你能得出什么结论？
生3：当梯子的倾斜角一定时，它的竖直高度和水平宽度的比值就一定.
活动目的：此环节旨在说明当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值便随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关．
3．讲一讲
师：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA．即
（教师强调锐角A的对边与邻边）．
师：谁来说说图10中∠B的正切等于什么？
生：
师：很好．
活动目的：理解正切的概念和表示，理解tanA是一个抽象的符号，它代表一个“比”或“比值”．
4．议一议
师：在图9中，梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？
生：tanA的值越大，梯子越陡．
活动目的：旨在让学生理解梯子的倾斜程度与倾斜角的正切之间的关系．
5．想一想
师：我们知道，可以用梯子倾斜角的正切刻画梯子的倾斜程度，那么怎样刻画山坡的倾斜程度呢？
生：可以用坡面和水平面所成的角来刻画，也可以用坡面的铅直高度与水平宽度的比来刻画．
师：太对了，我们把前者叫做坡角，后者叫做坡度（或坡比）．
活动目的：旨在让学生理解坡角和坡度．
例如图11，甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，
乙梯中，
因为>，所以甲梯更陡．
活动目的：例题由学生独立完成，合作交流，订正完善，规范步骤．
（三）巩固练习，形成技能
随堂练习第1，2题；习题1.1第4题．
活动目的：通过基本的练习，进一步加强学生对正切和坡度的理解，形成相应的技能．
（四）课堂小结
教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获：
1．经历了探索梯子倾斜程度的过程；
2．理解了正切和坡度的概念；
3．了解了tan A的值越大，梯子（坡）越陡；
4．体会了相关的数学思想方法：从特殊到一般、转化．
活动目的：通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯．
（五）布置作业
1．书面作业：习题1.1第1，2题；
2．弹性作业：习题1.1第3题．
活动目的：如此布置作业，既巩同知识技能，又减轻学生负担。
板书设计：
教学反思：
本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及到以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点，这节课运用了实验教学、直观教学，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程．概念教学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与，并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过特殊到一般、具体到抽象的探索过程，紧紧围绕着函数概念，引出正切概念，再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中，注重了阶段性的反思小结，使学生能够及时总结知识和方法.
1.1 从梯子的倾斜程度谈起(1)
一、正切的定义 二、例题 学生练习
tanA＝．
三、坡度
当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.
教学目标：
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系．
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切进行简单的计算.
3.逐步学会利用数形结合,从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.
教学重点与难点：
重点：
1.理解正切的概念.
难点：
1.理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.
教法与学法指导：
试验探究法．通过实际生活中的现象和例子，用多媒体进行展示，进而引导学生进行分析讨论，总结出正切的概念，再结合适量的练习加以巩固提高；鼓励学生从生活中发现数学的重要性，课堂上以独立发现和总结规律为主，同时配合小组讨论和探究，争取正确地掌握正切的概念，以及运用上述知识解决实际问题．
课前准备：多媒体课件．
三、教学过程
（一）联系生活，导入新课
教师用多媒体展示生活中一些与梯子相关的图片后，导人新课：
同学们！梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？
生：倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．
师：是的，在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？今天，我们对这个问题继续进行深入研究（板书课题）．
活动目的：由学生熟悉的梯子引入新课，紧扣课题，从而自然过渡到下面的探究活动．
（二）研究问题，探索新知
1．做一做
教师用多媒体展示图1．
图1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样剡断的？
师：请同学们独立思考后举手回答．
生：因为这两个梯子的竖直高度相同，而梯子EF的水平宽度比梯子AB的小，所以梯子EF更陡．
师：很好．
教师用多媒体展示图2．
图2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生：因为这丽个梯子的水平宽度相同，而梯子EF的竖直高度比梯子AB的小，所以梯子AB更陡．
教师用多媒体展示图3．
图3中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生：（七台讲解）由图可知，在这两个三角形中，两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个三角形相似，因此，梯子AB与地面的夹角和梯子EF与地面的夹角相等，所以两个梯子一样陡，
教师用多媒体展示图4．
图4中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
生1：图3中两个梯子的竖直高度和水平宽度的比是相等的，我们得到两个梯子一样陡．因此我猜想图4也可以用这种方法来判断：梯子AB的竖直高度与水平宽度的比值大，所以我判断梯子AB更陡．
师：这只是猜想，如何验证呢？
生2：我们把梯子EF按照原来的样子放在左图中，然后过点E作E1F∥AB，由三角形相似，容易得到EF1的水平宽度是，所以梯子AB更陡．
生3：我们也可以把梯子EF按照原来的样子放在左图中，然后过点F作E1F∥AB，由三角形相似，容易得到E1F的竖直高度是4.5>4，所以梯子AB更陡，
生4：也可以过点A或B作EF的平行线．
师：非常好！可是，为什么要这样做呢？
生5：梯子AB和EF的竖直高度和水平宽度都不同，我们只要能转化为竖直高度相同或水平宽度相同就可以了．这样做的前提是不改变梯子的倾斜程度，所以要作平行线.
师：讲得十分精彩！下面我们回顾、反思一下刻画梯子倾斜程度的方法，看看谁能够有新的发现！（用多媒体出示下图）
生：归纳各种情况，可以发现：竖直高度和水平宽度的比值越大，梯子越陡．
活动目的：从图1到图4，四个问题由浅入深，由简单到复杂，步步深入，环环相扣，引人人胜．学生们在用生活常识和有关知识解决问题时，非常自然地感悟了用“竖直高度和水平宽度的比值”来刻画梯子的倾斜程度．
2．想一想
如图9，小明想通过测量B1C1及A1C1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及A2C2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
生：同意．
师：为什么？
生1：显然Rt△AB1C1和Rt△AB2C2相似，所以和相等．
师：如果改变B2的位置呢？
生2：B2无论在什么位置，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2都相似，所以和相等．
师：由此你能得出什么结论？
生3：当梯子的倾斜角一定时，它的竖直高度和水平宽度的比值就一定.
活动目的：此环节旨在说明当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值便随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关．
3．讲一讲
师：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA．即
（教师强调锐角A的对边与邻边）．
师：谁来说说图10中∠B的正切等于什么？
生：
师：很好．
活动目的：理解正切的概念和表示，理解tanA是一个抽象的符号，它代表一个“比”或“比值”．
4．议一议
师：在图9中，梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？
生：tanA的值越大，梯子越陡．
活动目的：旨在让学生理解梯子的倾斜程度与倾斜角的正切之间的关系．
5．想一想
师：我们知道，可以用梯子倾斜角的正切刻画梯子的倾斜程度，那么怎样刻画山坡的倾斜程度呢？
生：可以用坡面和水平面所成的角来刻画，也可以用坡面的铅直高度与水平宽度的比来刻画．
师：太对了，我们把前者叫做坡角，后者叫做坡度（或坡比）．
活动目的：旨在让学生理解坡角和坡度．
例如图11，甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，
乙梯中，
因为>，所以甲梯更陡．
活动目的：例题由学生独立完成，合作交流，订正完善，规范步骤．
（三）巩固练习，形成技能
随堂练习第1，2题；习题1.1第4题．
活动目的：通过基本的练习，进一步加强学生对正切和坡度的理解，形成相应的技能．
（四）课堂小结
教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获：
1．经历了探索梯子倾斜程度的过程；
2．理解了正切和坡度的概念；
3．了解了tan A的值越大，梯子（坡）越陡；
4．体会了相关的数学思想方法：从特殊到一般、转化．
活动目的：通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯．
（五）布置作业
1．书面作业：习题1.1第1，2题；
2．弹性作业：习题1.1第3题．
活动目的：如此布置作业，既巩同知识技能，又减轻学生负担。
板书设计：
教学反思：
本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及到以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点，这节课运用了实验教学、直观教学，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程．概念教学由学生熟悉的实例入手，引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与，并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过特殊到一般、具体到抽象的探索过程，紧紧围绕着函数概念，引出正切概念，再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中，注重了阶段性的反思小结，使学生能够及时总结知识和方法.
1.1 从梯子的倾斜程度谈起(1)
一、正切的定义 二、例题 学生练习
tanA＝．
三、坡度
当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.