北师大版数学九下1.1锐角三角函数 课件 (共34张PPT)

(共34张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第1课时 正切
　引言：直角三角形的边角关系，我们已经研究过什么？还可以研究什么？
两锐角互余
勾股定理
1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系．
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切进行简单的计算.
3.逐步学会利用数形结合,从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.
重点：
1.理解正切的概念.
难点：
1.理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.
生活中的梯子
导入新课
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
应该如何来描述它的倾斜程度呢
陡意味着倾斜程度大！
知识储备
陡了还是缓了？
注：单击文字部分可以反复播放动画
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
相关概念
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断办法？
合作探究1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
问题1:当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
问题2:当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
乙
如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
问题3:当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
3m
6m
D
E
F
C
2m
B
4m
A
问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
1.5m
4m
D
E
F
C
1.3m
B
3.5m
A
看起来，好像倾斜角差不多大，他们一样陡吗？
思考:
当铅直高度与水平宽度的比不相等时，
梯子倾斜程度与铅直高度与水平宽度的比有什么关系呢？
合作探究2
6m
2m
合作探究2
问题5：（1）在这个过程中，倾斜角，铅直高度，水平宽度它们是怎么变化的呢？
问题5:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较:倾斜角越大，梯子越陡.
2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断:比值越大，梯子越陡.
要点归纳
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗
想一想
A
B1
C1
C2
B2
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
（2） 和 有什么关系
（3）如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系还成立吗？

Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2
合作探究3
A
B1
C1
C2
B2
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(2) 和 有什么关系
(3)如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系还成立吗？

Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2
合作探究3
A
B1
C1
C2
B2
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(2) 和 有什么关系
(3)如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系还成立吗？

Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2
合作探究3
A
B1
C1
C2
B2
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(2) 和 有什么关系
(3)如果改变点B2在梯子上的位置，这种关系还成立吗？

Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2
∠A不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅直高度与水平宽度的比值都是一定的.
合作探究3
当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值也随之确定的，即：这个比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
要点归纳
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent，音标：[ t nd nt] ）,记作tanA,
即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
tanA=
结论：∠A越大,tanA的值越大，梯子越陡.
引入新知
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。对于三个大写字母或者数字表示的角则不能省略角的符号.即∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
3） tanA﹥0且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序）.
4）tanA不表示“tan”乘以“A ”.
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1.判断正误
(1)如图 (1)
( ).
(2)如图 (2)
( ).
(3)如图 (2)
( ).
(4)如图 (2)
( ).
(5)如图 (2)
( ).
×
×
×
×
A
B
C
(1)
┍
A
B
C
7m
10m
(2)
√
练一练
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______，tan B =______．
练一练
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
5.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
4.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
=
=
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度、坡角
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
100m
60m
┌
α
概念学习
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
B
方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
课堂小结
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
作业：
课本第4页
必做：随堂练习第一题，第二题
选做：习题1.1 知识技能
同学们，愿你们学有所获！