朴初中学 2021-2022 学年度第二学期开学考试
高二数学试题答案和解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12.
2
13. 40 14. 4 + 2 + 7 = 0 15. + 2 = 1 16. 8
2
17. （本小题满分 10 分）
解：(1)设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 > 0 ，
因为 1 = 1 = 1, 2 + 4 = 10, 3 = 5，
所以 1 + + 1 + 3 = 10, 2 = 1 + 4 ，
∴ = 2, ∵ > 0 ∴ = 3，
因此 = 1 + ( 1) × 2 = 2 1；
(2)由(1)可得 1 1 = 1 × 3 = 3 ，
= 1 3
数列 的前 项和 =
1 (3 1)．
1 3 2
18.（本小题满分 12 分）
(1)由题意，圆 ： 2 + 2 2 4 20 = 0，
可化为：( 1)2 + ( 2)2 = 25；
即圆心 (1,2)，半径为 = 5，
由直线 ： + 3 + 1 = 0，化为 1 = ( + 3)，
得直线 过定点 ( 3,1)，
当 ⊥ 时，弦长最短，
= 1又由 ，可得 = 4；4
(2)由题意，圆 ： 2 + 2 2 4 20 = 0 的圆心 (1,2)，半径为 = 5，
设 ( , )，因为圆心 与 关于直线 对称，
第 1页，共 5页
1+ 2 × 2+ 2 = 0
所以 2 2 2 ，解得 = 3， = 2，= 2
1
则 (3, 2)，半径 = 5，
所以圆 标准方程为：( 3)2 + ( + 2)2 = 25．
19. （本小题满分 12 分）
解：(1)在△ 中， = ， 为 的中点，
所以 ⊥ ．
又因为侧面 ⊥底面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
在△ 中， ⊥ ， = = 2，所以 = 2．
在直角梯形 中， 为 的中点，所以 = = 1，
所以 ⊥ ．
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直
角坐标系，如图所示，
则 0,0,1 , 0, 1,0 , 1, 1,0 , 1,0,0 , 0,1,0 ，
所以 = 1, 1, 1 ．
显然 = 0, 1,0 为平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 sin = cos , = = 3
，
3
故 cos = 6，
3
所以 与平面 所成角的余弦值为 6．
3
(2)因为 = 1, 1, 1 ， = 1,0,1 ， = 0,1, 1 ，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
第 2页，共 5页
· = + = 0
则
·
,
= = 0
取 = 1，得 = 1,1,1 ．
则 点到平面 的距离 = = 3．
3
20. 解：(Ⅰ)由 +2 = 2 +1 + 2，
得 +2 +1 = +1 + 2，
由 = +1 ，得 +1 = + 2，
即 +1 = 2，
又 1 = 2 1 = 1，
所以{ }是首项为 1，公差为 2的等差数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得， = 1 + 2( 1) = 2 1，
由 = +1 得， +1 = 2 1，
则 2 1 = 1， 3 2 = 3， 4 3 = 5，…， 1 = 2( 1) 1，
所以累加可得：
1 = 1 + 3 + 5 + … + 2 1 1
= ( 1)(1+2 3) = ( 1)2，
2
又 1 = 1，
所以{ }的通项公式 = ( 1)2 + 1 = 2 2 + 2．
21. （本小题满分 12 分）
解：(Ⅰ)等差数列{ }的公差 为正数， 1 = 1，
数列{ }为等比数列，设公比为 ，
1 = 2，且 2 2 = 12， 2 + 3 = 10，
可得 2 (2 + ) = 12，2 + 3 + 3 = 10，
解得 = 2， = 1，
则 = 1 + 1 = ， ∈ ，
= 2 ， ∈ ；
(Ⅱ) = 2 ，
前 项和 = 1 2 + 2 22 + 3 23 + … + 2 ，
2 = 1 22 + 2 23 + 3 24 + … + 2 +1，
第 3页，共 5页
两式相减可得 = 2 + 22 + 23 + … + 2 2 +1
= 2(1 2
) 2 +1，
1 2
化简可得 = 2 + ( 1) 2 +1， ∈ ；
( 1Ⅲ)由 = ( + 1)，2
1 2 1 1
可得 = + = 2 + = 2 + 2( ) ( +1) +1 ，
1 1 1 1 1
则数列{ }的前 项和 2 = (2 + 2 + … + 2 ) + 2(1 + + … + )2 2 3 +1
= 2(1 2
) + 2(1 1 ) = 2 +1 2 ，
1 2 +1 +1
则数列{ }的前 2 项和为22 +1 2 ， ∈ ．2 +1
22. （本小题满分 12 分）
解：(1)由题意椭圆过点( , 2 )，
2
= 2
2
2 = 2
所以 1 ，又 2 = 2 + 2，解得 2 = 1
2 + 2 = 1 2
2 2 = 1
2
所以椭圆方程为 + 2 = 1．
2
(2)设直线 的方程为 = ( + 1)( ≠ 0)，
= ( + 1)
由 2 2 ，+ = 1
2
消去 整理得(2 2 + 1) 2 + 4 2 + 2 2 2 = 0， > 0，
设点 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( , )， 的中点 ( , )，
2 2
则 1 + =
4 = 2 22 ， ，2 2+1 1 2 2 2+1
+ 2 2 2
所以 = 1 2 = 2 ， = ( + 1) = (
2
2 + 1) =
，
2 2 +1 2 +1 2 2+1
1的垂直平分线 的方程为 = ( )，
= 0 = + = 2
2 2+ =
2
= 1 + 1令 得 2 2+1 2 2+1 2 2+1 2 4 2 ，+2
因为 ≠ 0，所以 1 < < 0
1
，所以点 的横坐标的取值范围为( , 0)．
2 2
(3)假设存在，设 ( , 0)，
4 2 2 2 2
结合第(2)问知： 1 + 2 = 2 ， 2 +1 1 2 = 2 ，2 +1
所以 1 = 22 ( 1 + 1)( 2 + 1) = 2( 1 2 + 1 + 2 + 1)
第 4页，共 5页
2 2 2
= 2 ( 4 2 22 + 2 + 1) =
，
2 +1 2 +1 2 2+1
所以 = ( 1 , 1) ( 2 , 2)
= 1 2 2 ( 1 + 2) + + 1 2
2 2 2 4 2 2
= 2 2 +
2 +
2 + 1 2 + 1 2 2 + 1
(2 2+4 +1) 2+ 2 2= ，
2 2+1
(2 2+4 +1) 2+ 2
设
2
2 = ，2 +1
则(2 2 + 4 + 1 2 ) 2 + 2 2 = 0 对任意 ≠ 0恒成立，
2 =
5
2 + 4 + 1 2 = 0
4
所以 ，解得 ,
2 2 = 0 = 7
16
5 7
所以存在点 ( , 0)，使得 4 为定值 ．16
第 5页，共 5页朴初中学 2021-2022 学年度第二学期开学考试
高二数学试题卷
试卷满分：150分；考试时间：120分钟；
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
1. 若直线 + = 2 与直线 + = + 1平行，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 0
2 2
2. 4与双曲线 = 1 有公共焦点且离心率为 的椭圆的标准方程为5 ( )49 15
A.
2 2 2 2 2
+ = 1 B. + = 1 C. +
2 2 2
= 1 D. + = 1
80 16 80 16 100 36 100 36
3. 在正方体 1 1 1 1中， 、 分别为棱 1 1和 1的
中点，那么异面直线 和 所成角的余弦值是( )
A. 3 B. 10 C. 2 2
2 2 5
D. 5
4. 已知等差数列{ }满足 2 + 4 = 4， 3 + 5 = 10，则它的前
10项和 10 = ( )
A. 138 B. 135 C. 95 D. 23
1 2 1
5. 数列{ }满足 1 = 2, 2 = 1，并且 = ( 2) ，则 + = ( ) 1 +1 10 11
A. 19 B. 21 212 2 C. 55 D.
23
66
2
6.
2
已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线经过点(1, 5)，则该双曲线的离
心率为( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 30
5
7. 已知数列
2 + , 为奇数,
满足 1 = 0 = 1
2
， 2 ， = ，则数列 的前 10
2 × 2, 为偶数,
项和为( ) A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
8. 已知 ( , )为圆 : 2 + 2 2 4 + 4 = 0 1上任意一点，则 的最大值为( )
+1
A. 2 B. 43 C.
4 0
3 D.
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
9. 数列 的前 项和为 ，若 1 = 1， +1 = 2 ∈ ，则有( )
第 1页，共 4页
A. = 3 1 B. 为等比数列
C. 1 D. 1, = 1, = 2 3 = 2 3 2, ≥ 2
10. 下列结论正确的是( )
A. 方程 ( + 4)2 + 2 ( 4)2 + 2 = 6 表示的曲线是双曲线的右支；
B. 若动圆 过点(3,2)且与直线 3 2 1 = 0 相切，则点 的轨迹是抛物线；
2
C. 两焦点坐标分别为(2,0) 和( 2,0)，且经过点 的椭圆的标准方程为 +
25
2 = 1；
16
2 2
D. 椭圆 + = 1 上一点 到右焦点的距离的最大值为 9，最小值为 6．
25 9
2 211. 双曲线 = 1 的左右焦点分别为 ，
9 16 1 2
，点 在双曲线上，下列结论正确的是
( )
A. 5 4该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为 =± 4 3
C. 144点 到两渐近线的距离的乘积为 若 25 D. 1 ⊥ 2，则 1 2的面积为 32
12.
2 2
我们把离心率为 = 5+1的双曲线
2 2
2 = 1( > 0, >
0)称为黄金双曲线.如图所示， 1、 2是双曲线的实轴顶
点， 1、 2是虚轴顶点， 1、 2是焦点，过右焦点 2且
垂直于 轴的直线交双曲线于 、 两点，则下列命题正
确的是( )
2
A. 双曲线 2 = 1 是黄金双曲线 B. 若 2 = ，则该双曲线是黄金双曲线
5+1
C. 若∠ 1 1 2 = 90 ，则该双曲线是黄金双曲线
D. 若∠ = 90°，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 为等比数列{ }的前 项和， 5 = 5， 10 = 15，则 16 + 17 + 18 + 19 + 20
的值为 ．
14. 过点 (0,2)作圆 2 + 2 + 8 + 7 = 0 的两条切线，切点为 ， ，则直线 的一般
式方程为 ．
2 2
15. 已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的一个焦点与抛物线 2 = 4 的焦点重合，过点
( 1,1) 1且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆
2
的方程为
第 2页，共 4页
16. 如图所示，已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，准线
与 轴的交点为 ，点 在抛物线 上，且在 轴的上
方，过点 作 ⊥ 于 ，| | = 2| |，则△
的面积为
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. （本小题满分 10 分）
已知等差数列 和正项等比数列 满足 1 = 1 = 1, 2 + 4 = 10, 3 = 5．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
18. （本小题满分 12 分）
已知圆 ： ．
(1))当 取何值时，直线 与圆 相交的弦长最短．
(2)求圆 关于直线 对称的圆 的标准方程；
19. （本小题满分 12 分）
如图所示，在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，
侧棱 = = 2， ⊥ ，底面 为直角梯形，其
中 ， ⊥ ， = = 1， 为 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2)求 点到平面 的距离．
第 3页，共 4页
20. （本小题满分 12 分）
数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 2 +1 + 2．
(Ⅰ)设 = +1 ，证明{ }是等差数列；
(Ⅱ)求{ }的通项公式．
21. （本小题满分 12 分）
已知等差数列{ }的公差为正数， 1 = 1，其前 项和为 ，数列{ }为等比数列，
1 = 2，且 2 2 = 12， 2 + 3 = 10．
(Ⅰ)求数列{ }与{ }的通项公式；
(Ⅱ)求数列{ }的前 项和 ．
1
(Ⅲ)设 = + ， ∈ ，求数列{ }的前 2 项和．
22. （本小题满分 12 分）
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的离心率为
2，过椭圆 的左焦点 , 0 且不
2 1
与坐标轴垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点，且椭圆 截直线 = 所得弦长为 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求点 横坐标的取值范围；
(3)试问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标及
该定值；若不存在，请说明理由．
第 4页，共 4页
