高一数学开学考
【答案】
1. A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C
8. C
9. BD 10. CD 11. BC 12. ABD
13. 3
2
14. 64
15. [k , k ),k Z
4
16. 1 3
4
17. 解： (1)原式 lg 2(lg 2 lg5) lg5 lg 2 lg5 1；
(2)原式
2(1 sin10 3 cos10 )
sin 40 ( sin10 3) sin 40 (sin10 3 cos10 ) sin 40 2 2
cos10 cos10 cos10
sin 40 2sin(10 60 ) 2sin 40 sin( 50 ) 2sin 40 cos40
cos10 cos10 cos10
sin80 cos10
1.
cos10 cos10
18. 解： (1)因为 f (x) sin2 x cos2 x 2cos xcos(x )
3
cos2x 2cos x(cos xcos sin xsin )
3 3
cos2x 1 cos2x 3 sin 2x
2 2
3
sin 2x 1 cos2x 1
2 2 2
sin(2x ) 1 ，
6 2
2
所以函数 f (x)的最小正周期为T .
2
(2) 令 2k 2x 3 2k ， k Z ，
2 6 2
k x 5 解得 k ， k Z ，
3 6
可得函数 f (x)的单调递减区间为 [ k , 5 k ]， k Z .
3 6
第 1页，共 5页
(3) 0 x 2x 5 因为 ， ，
2 6 6 6
1
所以 sin(2x ) 1.
2 6
2x 3当 时，即 x 时， f (x)有最大值为 .
6 2 3 2
19. 解： (1)当 a 2时，不等式 2x2 5x 3 0，
1
整理得 (2x 1)(x 3) 0 ，解得 x 或 x 3，
2
当 a 2 1时，原不等式解集为{x | x 或 x 3}；
2
(2)当 a 0时，不等式 ax2 (3a 1)x 3 0，
1
整理得： (x 3)(x ) 0，
a
1 1
当 a 时， 3，此时不等式无解；
3 a
0 a 1 1当 时， 3 1，解得 3 x ；
3 a a
a 1 1当 时， 3 1，解得 x 3；
3 a a
1
综上：当 a 时，解集为 ；
3
当 0 1 a 1时，解集为{x | 3 x }；
3 a
a 1 1当 时，解集为{x | x 3}.
3 a
20. 解： (1)依题意可得 3 100(2x 8 1 ) 4500，
x 2
8
即 2x 1 15，
x 2
因为 3 x 10，
8
所以 0，
x 2
可得 x2 9x 18 0，即 (x 3)(x 6) 0 ，
解得 x 3或 x 6，
所以 x的取值范围为 [6,10].
(2)设每小时获得的利润为 y，
y 100(2x 1 8 ) 100[2(x 2) 8 5] 100[ 2(x 2)( 8 ) 5] 1300，当且仅
x 2 x 2 x 2
第 2页，共 5页
当 2(x 8 2) 时取等号，此时 x 4，
x 2
故当生产运输速度为 4kg / h，每小时获得的利润最小，最小值为 1300元．
21. 解： (1)因为函数 f (x) ln( 1 x2 ax)是一个奇函数，
所以 f (x) f ( x) 0，即 ln( 1 x2 ax) ln( 1 x2 ax) 0，
可得 ( 1 x2 ax)( 1 x2 ax) 1，即 (1 x2 ) a2x2 1，
则 (1 a2 )x2 0，得 a 1或 a 1.
(2)①因为 a 0，所以 a 1.
函数 f (x) ln( 1 x2 x)，定义域为 R， f (x)在 R上单调递增．
②对任意实数 x， f (sin2 x cos x) f (3 2m) 0恒成立，
f (sin2 x cos x) f (3 2m) f (2m 3)，
由①知函数 f (x)在 R上单调递增，
可得 sin2 x cos x 2m 3.
因为 sin2 x cos x 1 cos2 x cos x (cos x 1 )2 5 5 ，
2 4 4
所以 2m 3 5 ，即m 17 .
4 8
于是正整数 m的最小值为 3.
22. 解：(1)因为 AB 2 ，CD 2 3， DAB CDB ，0 ， ADB ，
2 2
所以 DA 2cos ，DB 2sin ，
所以 BE BD sin 2sin 2 ， DE 2sin cos ，
则
S S S 1 1四边形ABCD ABD BCD DA DB DC BE 2sin cos 2 3 sin
2
2 2
sin 2 3(1 cos2 ) 2sin(2 ) 3，
3
2
因为 0 ， 2 ，
2 3 3 3
3
所以 sin(2 ) 1，
2 3
2
5
当 时，即 时， S
四边形ABCD 最大值为 2 3 ；3 2 12
(2) DA DB DE 2sin 2cos 2sin cos ，
第 3页，共 5页
设 t sin cos ，则 t2 (sin cos )2 1 2sin cos ，
所以 2sin cos t 2 1，
则DA DB DE (t 1)2 2，
因为 t sin cos 2 sin( )， 0 ，所以 t (1, 2 ],
4 2
而 y (t 1)2 2在 (1, 2 ]上单调递增，
可得 DA DB DE的取值范围 (2,1 2 2].
12. 解：由题设， f (x)的周期为 4 且关于 x 1对称，
f (2022) f (4 505 2) f (2) f (0) 0 ，A正确；
又 x [ 1,1]时 f (x) | 4x 1，可得 f (x)的部分图象如下：
由图知：G(x) f (x) 1 在 [ 2, 4]内 6个零点关于 x 1对称，故零点之和为 6，B正
2
确；
由图象及对称性知： f (x)在[,5]内单调递增，在 [2,6]内的值域为 [0,3]，故 C错误，
D正确．
故选： ABD.
由题设 f (x)的周期为 4且关于 x 1对称，结合解析式画出 f (x)的部分图象，应用数
形结合法及图象的对称性、周期性判断各选项的正误．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
16. (1) f (5) 1 f (3) 1 f (1) 1 1解： 由题可知 cos ；
2 4 4 4
(2)根据 f (x)的解析式，在同一坐标系下绘制 f (x)与 y (1)x 1的图象如下所示：
2
第 4页，共 5页
数形结合可知，两个函数有 3个交点．
1
故答案为： ;3.
4
(1)根据函数解析式，代值求解即可；
(2)在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果．
本题考查了分段函数的求值，函数的交点个数问题，用到了数形结合的思想，属于中档
题．
第 5页，共 5页朴初中学 2021——2022 学年度第二学期开学考
高一数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 A {x Z | 0 x 3}， B {x N | x 3}，则 A B ( )
A. {0,1, 2} B. {0,1,3} C. {1, 2,3} D. {0,1, 2,3}
2. 函数 f (x) lg x 4 x2 的定义域为 ( )
A. (0, 4) B. (1, 2) C. (0, 2] D. (1,2]
3. 设命题 p： x (0,1)， x x3，则 p为 ( )
A. x (0,1)， x x3 B. x (0,1) ， x x3
C. x (0,1)， x x3 D. x (0,1) ， x x3
4. 函数 f (x) a x (a 0 且 a 1)，对于任意实数 m，n都有 ( )
A. f (mn) f (m) f (n) B. f (m n) f (m) f (n)
C. f (mn) f (m) f (n) D. f (m n) f (m) f (n)
5. 已知 a log 0.30.3 2， b 3 ， c 0.3
2，则 ( )
A. a c b B. a b c C. c a b D. b c a
6. sin( ) cos( )已知 3，则 tan 等于 ( )
sin( ) cos(2 )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
7. 已知 a、b都是实数，那么“ a b”是“ a3 b3”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. x在下列区间中，函数 f (x) e 2x 3的零点所在的区间为 ( )
A. (0, 1) B. (1 , 1) C. (1 , 3) D. (3 ,1)
4 4 2 2 4 4
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
第 1页，共 4页
9. 要得到 y sin(2x )的图象，可以将函数 y sin x 图象上所有的点 ( )
4
A. 1向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
4 2
B. 1向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
4 2
C. 1 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
2 8
D. 1 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
2 8
10. 已知两个不为零的实数 x，y满足 x y ，则下列结论正确的是 ( )
A. 1 1 B. 1 1
x y x y
C. | x | | y |
2 2
2 D. ( x y )2 x y
| y | | x | 2 2
11. 下列函数中，既是奇函数又在区间 (5,6) 内是减函数的是 ( )
A. y ex e x B. y x | x | C. y sin x D. y 3x 3 x
12. 已知函数 f (x)的定义域为 R， f (x 4) f (x)， f (x 1) f (1 x)，且当
x [ 1,1]时， f (x) | 4x 1|，则以下结论正确的是 ( )
A. f (2022) 0
B. G(x) f (x) 1 在 [ 2, 4]内零点之和为 6
2
C. f (x)在区间[4,5]内单调递减
D. f (x)在 [2,6]内的值域为 [0,3]
三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. cos75 sin135 sin 45 cos15 ______.
14. 幂函数 y f (x) 的图象过点 (2,8) ，则 f (4) ______.
15. 不等式 tan(x ) 1的解集为______.
4
第 2页，共 4页
cos x, x [
1 3
, ]
16. 已知函数 f (x) 2 2 .
1 f (x 3 2), x ( , )
2 2
(1) f (5) ______；
(2)函数 f (x)与函数 y (1 )x 1，二者图象有______个交点．
2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 计算下列各式的值：
(1) lg2 2 lg2lg5 lg5；
(2)sin 40 (tan10 3).
18. 设函数 f (x) sin2 x cos2 x 2cos xcos(x ).
3
(1)求函数 f (x)的最小正周期；
(2)求函数 f (x)的单调递减区间；
(3)求函数 f (x)在闭区间 [0, ]内的最大值以及此时对应的 x的值．
2
19. 已知关于 x的不等式： ax2 (3a 1)x 3 0.
(1)当 a 2时，解此不等式；
(2)当 a 0时，解此不等式．
20. 某工厂以 xkg / h的速度生产运输某种药剂 (生产条件要求边生产边运输且
3 x 10) 8，每小时可以获得的利润为100(2x 1 )元．
x 2
(1)要使生产运输该药品 3h获得的利润不低于 4500元，求 x的取值范围；
(2)x为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？
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21. 已知函数 f (x) ln( 1 x2 ax)是奇函数．
(1)求实数 a的值；
(2)当 a 0时，
①判断 f (x)的单调性 (不要求证明 )；
②对任意实数 x，不等式 f (sin2 x cos x) f (3 2m) 0恒成立，求正整数 m的最
小值．
22. 如图，在平面四边形 ABCD中， AB 2 ，CD 2 3， DAB CDB ，
0 ， ADB ， BE CD于点 E.
2 2
(1)求四边形 ABCD面积的最大值；
(2)求 DA DB DE的取值范围．
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