2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1.2等边三角形的性质同步练习（Word版含答案）

1.1.2 等边三角形的性质
一、单项选择题。
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AE＝EC　 B．AE＝BE　 C．∠EBC＝∠BAC　 D．∠EBC＝∠ABE
2. 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于(　　)
A．60°　　　　B．90°　　　　C．120°　　　　D．150°
3. 如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是(　　)
A．(4，－2) B．(4,2) C．(2，－2) D．(－2，－2)
4. 如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
5. 如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE等于(　　)
A．2　　B．3　　C．4　　D．5
二、填空题。
6. 等腰三角形两腰上的中线长 ，两腰上的高 ，两底角的平分线 ．
7. 等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
8. 如图，P是等边△ABC底边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足，则∠EPF＝ .
9. 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2＝ 度．
10. 如图，△ABC是等边三角形，AD是中线，△ADE也是等边三角形，则下列结论：①AD⊥BD；②EF＝DF；③∠ABE＝60°；④BE＝BD.其中正确的是 (填序号)．
11. 如图，将一等边三角形的三条边各8等份，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1,2,5)，点B的坐标可表示为(4,1,3)，按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
三、解答题。
12. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AC上的一点，且AE＝AD，
求∠EDC的度数．
13. 如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，求∠E的度数．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
15. 如图，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．连接BE、CD.求证：BE＝CD.
16. 如图，P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数．
17. 如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.
(1)求∠E的度数；
(2)求证：M是BE的中点．
18. 如图所示，小丽同学在平面直角坐标系中画了边长为2的等边△AOB和边长为2的等边△DCB，点B、D落在x轴的正半轴上，连接OC、AD.
(1)求证：OC＝AD；
(2)求过A、D两点的直线的解析式．
答案:
一、
1-5 CCCDB
二、
6. 相等 相等 相等
7. 相等 60°
8. 120°
9. 240
10. ①②③④
11. (2,4,2)
三、
12. 解：∵AD是等边三角形ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.
13. 解：∵AO平分∠BAE，∴∠BAO＝∠EAO，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∵AE＝AC，∴AB＝AE，又∵∠BAO＝∠OAE，AO＝AO，∴△BAO≌△EAO，∴∠E＝∠ABF，∵BF⊥AC，∴∠ABF＝30°，∴∠E＝30°.
14. 解： 过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF，即∠BAC＝2∠BAF(三线合一)，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED(等边对等角)，∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴∠BAF＝∠D，∴DE∥AF，又∵AF⊥BC，∴DE⊥BC.
15. 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝CD.
16. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠CAP＝60°，AB＝CA.∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ.在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP(SAS)；　
(2)∠QMC的大小不变，且∠QMC＝60°.理由如下：由(1)知△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC.∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°，故∠QMC的大小不变．
17. (1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE.又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°；
(2)证明：连接BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°.由(1)知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°.在△BDM和△EDM中，∵∠DBC＝∠E，∠DMB＝∠DME，DM＝DM，∴△BDM≌△EDM(AAS)，∴BM＝EM，即M是BE的中点．
18. (1)证明：∵△DCB和△AOB是边长为2的等边三角形，∴∠ABO＝∠CBD，∴∠OBC＝∠ABD＝120°，OB＝AB，BC＝BD.∴△BOC≌△BAD(SAS)，∴OC＝AD；　
(2)解：作AE⊥OB交x轴于点E，则E为OB的中点，∴OE＝1，AE＝，∴A点的坐标是(1，)，又∵OD＝OB＋BD＝2＋2＝4，∴D点的坐标是(4,0)．设过A、D两点的直线的解析式为y＝kx＋b，
则，解得，∴过A、D两点的直线的解析式为y＝－x＋.