(共22张PPT)
1.4整式的乘法（3）
北师大版 七年级 下册
一、温故知新
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把所得的积相加.
① 用单项式去乘多项式的每一项；
2.下图中大长方形的面积等于两个小长方形的面积的和，由此可得的等式为_____________
a
m
n
a(m+n)=am+an
3.计算：
（1）
（2）
进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
① 不能漏乘:
即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
一、温故知新
③ 积中有同类项的要合并.
解：原式=5x3y+5x2y2-5xy3
解：原式=8a2-2a2+5ab
= 6a2+5ab
如图黄色部分是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得新长方形的面积可以怎样表示？
二、情境引入
n
m
b
a
mn
an
mb
ab
n
m
b
a
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
新长方形现在长为（m+a），宽为（n+b）.
三、合作探究
几何角度
(m+a)(n+b)=
mn+ mb+ an+ ab.
数形结合思想
n(m+a)
b(m+a)
n
m
b
a
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
新长方形现在长为（m+a），宽为（n+b）.
三、合作探究
几何角度
(m+a)(n+b)=
n(m+a)+b(m+a)
=mn+ mb+ an+ ab.
数形结合思想
a(n+b)
m(n+b)
n
m
b
a
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
新长方形现在长为(m+a)，宽为(n+b).
三、合作探究
几何角度
(m+a)(n+b)=
m(n+b)+a(n+b)
=mn+ mb+ an+ ab.
数形结合思想
三、合作探究
1.你能说出这步运算的道理吗？
2.你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算吗？
3.用自己的语言尝试概括：多项式与多项式的乘法法则.
(m+a)(n+b)=
mn
+ mb
+ an
+ ab.
结合算式：
用乘法分配律展开：
如何进行运算？
把(m+a)看成一个整体
= mn+mb+an+ab.
= (m+a)n+(m+a)b
代数角度
(m+a)(n+b)
三、合作探究
多项式乘以多项式
转化思想
整体思想
设(m+a)=X,有：
(m+a)(n+b)= X (n+b)
= X n+ X b
单项式乘以多项式
乘法分配律
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
归纳
多项式乘多项式的法则
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
积的项数为几？
四、典例精讲
例1 计算:(1)(1－x)(0.6－x)；
(2)(2x+y)(x－y)；
(1)原式=1×0.6－1·x－x·0.6+x·x
=0.6－x－0.6x+x2
=0.6－1.6x+x2；
(2) 原式=2x·x－2x·y+y·x－y·y
=2x2－2xy+xy－y2
=2x2－xy－y2.
请注意:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成
最简形式（是同类项的要合并）.
在合并同类项之前，积的项数是两个多项式的项数之积
积有4项
解：
小试牛刀
(1)原式=2a·a-2a·3+5·a-5×3
=2a2-6a+5a-15
=2a2-a-15；
(2) 原式=x·x-2x·y+2y·x-2y·2y
=x2-2xy+2xy-4y2
=x2-4y2.
解：
运算熟练后，
可省略第一步，直接写第二步
计算：
小试牛刀
(3)原式=(2m-n) 2
=(2m-n)(2m-n)
=(2m)2-2m·n-2n·m+n2
=4m2-4mn+n2.
解法1：
原式 = (-2m+n)(-2m+n)
=(-2m)2-2m·n-2n·m+n2
=4m2-4mn+n2；
解法2：
计算：
小试牛刀
原式=-(2m+1)(3m-2)
=-(6m2-4m+3m-2)
= -(6m2-m-2)
= -6m2+m+2 .
解法1：
原式=(-2m) ·3m+2m·2-1·3m+1×2
= -6m2+4m-3m+2
= -6m2+m+2；
解法2：
多项式的首项系数化为正
五、变式提升
1.计算：
1.(1)原式= x3-1；
(2)原式=ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce；
(3)原式=x+y+8.
解：
五、变式提升
2.若 ,求出m、n的值.
解：
∵(mx+y)(x-y)=mx2-mxy+xy-y2
=mx2+ (1-m)xy-y2；
∴m=2，n=1-m =-1
答：m=2，n=-1.
五、变式提升
3.你能用长方形的面积直观表示 的意义吗？
a
x
x
ax
ab
x2
bx
(x+a)(x+b)= x2+ (a+b)x+ab
(x+6)(x+3)=____________
(x-2)(x+5)=____________
(x+1)(x-7)=____________
(x-4)(x-8)=____________
b
请直接写出下列算式的值：
x2+ 9x+18
x2+ 3x-10
x2-6x-7
x2-12x+32
五、变式提升
4.如图，深圳市有一块长（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝1时，求绿化面积．
五、变式提升
4.如图，深圳市有一块长（3a+b）米，宽为（2a+b）米米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米；
（2）当a＝2，b＝1时，求绿化面积．
六、课堂小结
1.今天我们学习了哪些内容？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式乘多项式的法则
转化思想
整体思想
2.用到了哪些数学思想？
数形结合思想
七、课后作业
1.完成课本19页习题1.8知识技能与问题解决.
感谢您的聆听！1.4整式的乘法(3)教学设计
教材：北师大版数学七年级下册第一章第四节
教学内容分析
本课时的内容是多项式乘以多项式，探究多项式乘法法则以及能进行简单的多项式乘法运算（仅要求一次式之间及一次式与二次式相乘）.多项式乘法是一个承上启下的重要内容，它是前面已学过的单项式乘以多项式的应用和深化，又为后面探索乘法公式提供了依据.在多项式乘法法则的探索及应用中，处处渗透了转化思想，是发展学生几何直观和乘法运算算理的重要教材.
本节课，教材对有关内容采用了先探究，再应用的处理方式，从而达到学生先发现知识，再应用知识的教学目标.
二、学生学情分析
学生在这一章前面几节课中学习了幂的运算，通过前两课时的学习，学生已经掌握了单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则，并能正确的进行相关的计算，为本课时多项式乘多项式的学习奠定了充足的知识基础.
在前面的运算学习中，学生经历了一些探索活动，初步积累了一些经验，在上一课时探索单项式乘多项式的法则时，学生一方面体会了对同一面积的不同表达和乘法分配律的运用，另一方面也体会了转化思想在解决新问题中的重要作用，这都为本课时的学习积累了活动经验.
教学目标设置
经历探索多项式乘法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，以及乘法分配律在多项式乘法运算的作用. 发展有条理的思考能力. 在数学活动中，发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
能借助图形解释多项式乘法法则，发展几何直观；体验数形结合思想，整体思想，转化的思想方法.
能进行简单的整式乘法运算，发展运算能力；感受数学与现实生活的密切联系.
教学策略分析
教学难点：理解多项式与多项式的乘法运算法则及其探索过程;
从学生知识掌握的现状分析，分别从几何和代数视角探索新知，发展几何直观，计算图形的面积，从整体和局部的角度，全面考虑，列出等式，是学生学习的困难所在；用整体思想，把多项式乘法转化为单项式乘以多项式，也是学习困难所在.
策略:让学生充分独立思考、合作探究,老师给予适当的点拨.发散思维,头脑风暴,打开思维的角度.
教学重点：能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.
策略：在习题中，不断总结提升准确率的方法。
五、教学过程设计:
(
变式提升
) (
典例精讲
) (
合作探究
) (
情境引入
) (
温故知新
) (
课堂小结
)教学流程框图：
(
课后作业
)
教学活动 设计意图 预期效果
一、温故知新 教师提出问题，引导学生复习上节课所学的单项式乘多项式 1、如何进行单项式乘多项式的运算？你能举例说明吗？ 2、体会类比的学习方法 复习单项式乘以多项式的几何表示.达到温故知新的目的. 3、计算： （1） （2） 单项式乘以多项式运算是多项式乘以多项式运算的基础，所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常重要.课前通过单项式乘多项式的热身活动，帮助学生唤起昨天课堂的记忆， 第2小题设计了几何图形求面积，重温探索法则的过程中所积累的活动经验.方便学生利用类比的方法来探究多项式乘法的法则.在上一课时的学习及课后作业的巩固基础上，学生已经能够熟练应用法则进行计算，所以问题3的设置更突出了知识的综合. 把作业中典型的错误，问题再现，提升学生的准确率. 大多数学生能够熟练的说出单项式乘多项式的运算法则，通过练习发现个别学生在处理问题3时出错，主要是第（2）小题中的符号处理出现错误.通过教师与学生共同订正错误，使学生的认识有了进一步的提高.
二、情境引入 如图黄色部分是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得新长方形的面积可以怎样表示？ 以计算矩形面积的问题引入，使学生感到学习多项式乘以多项式的运算是必要的，并利用面积初步得到多项式乘以多项式的运算法则. 能借助几何图形来解释多项式乘以多项式的法则，发展几何直观.
三、合作探究 通过老师提出层层递进的问题串，同学之间交流合作，让学生从不同的角度，尝试探究出多项式乘以多项式的运算法则. 在学生交流的基础上，引导学生从不同角度，得到多项式乘以多项式的展开式. 从几何的角度，首先从整体来看，最大矩形的长和宽，表示出来整体大图形的面积.再从局部看，把四个小长方形的面积逐个加起来. 由于两次计算的面积是同一个图形的面积，因此我们知道，两个算式相等，就第一次得到了多项式乘法的展开式算式. 学生还可能思维发散，头脑风暴，用长方形的面积表示，最后经过去括号，化简，依然可以得到四个多项式的和. 这里展现了数形结合思想的魅力，体现了发散思维的妙用. 从代数的角度看我们直接用乘法分配律进行展开，最后运用类比单项式乘以多项式的方法，用自己的语言概括出多项式乘以多项式的运算法则. 设置三个层层递进的问题：学生利用图形面积得出数学猜想，进一步寻求证据，发展推理能力.问题1设置的比较简单，学生很容易答出把（m+n）看做是一个整体，利用单项式乘多项式法则或者利用乘法分配律即可得到.设置问题2的目的是以具体的题目做依托，直观总结如何进行多项式与多项式相乘的运算，为下一步抽象概括多项式乘多项式的法则做好铺垫，扫清障碍. 能用几何方法解释整式乘法的法则，这是我们常用的等面积法，应用非常广泛.表示图形的面积使我们整个初中阶段的热点. 用乘法分配律展开时要做到不重不漏对学生而言是易错点也是难点， 结合问题1、2让学生交流各自方法，进行及时总结.学生类比上节课的学习过程，总结得出多项式乘多项式的法则，并能运用乘法分配律就法则的推导给出合理的解释.
四、典例精讲 教师通过精讲典型例题，引导学生应用多项式乘多项式的法则进行计算.在本例题的教学中，先放手给学生独立完成，再根据学生做题情况作出针对性的讲解.首先夯实基础，要求学生明确每一步运算的算理，发展他们有条理思考的能力. 例1 计算:（1）(1－x)(0.6－x)； (2)(2x+y)(x－y)； 小试牛刀部分总共设计了4道习题，前两个比较基础，后两个比较灵活，对于掌握程度比较好的学生，需要设置一些具有挑战性的题目，激发他们学习的动力.使学生针对解决不同问题时遇到的问题，积累解题经验. 引导学生应用多项式乘多项式的法则进行计算.例题的教学中，先放手给学生独立完成，教师巡视批阅，根据巡视中发现的问题进行有针对性的讲解. 本例题选择了2个小题，目的是让学生通过对多项式乘以多项式法则的应用，做到准确计算，提升面对新问题的信心. 小试牛刀环节的第（1）题是普通的多项式乘多项式,留意它的结果在合并多项式之前是四项，合并后为三项，积的项数是两个多项式的项数之积.这一点让学生自己去归纳归纳总结. 第（2）题合并后结果只有两项,继续巩固法则，提升运算的准确度和快速.为后面学习平方差公式的推导做好铺垫. 第（3）题注意乘方可以转化为多项式和多项式的乘法.尤其符号容易出错，请学生交流讨论有没有好的方法可以避免出错呢？ 第（4）题需要格外留意符号问题,有没有更简便的算法呢 请学生交流讨论. 通过第（3）题和第（4）题，各给出了两种解法，让学生在实际解题过程中，学会自己不断去总结技巧，提升准确率. 理清楚运算的先后顺序，每一个多项式的项，连同符号一起乘，不要丢项漏项，注意符号问题，最后记得有同类项要合并. 在计算中,自己不断总结技巧,提升运算的本领.
五、变式提升 本环节共设计了4个大题，其中第1大题有3个计算题目，培养学生利用乘法分配律将多项式乘以多项式，转化为单项式乘以多项式的能力.准确理解每一步的算理，发展有条理的进行思考的能力. 第2题主要针对多项式系数进行考查,希望学生对于系数有一个更加准确的认识. 第3题的设计是对比人教版教材,对于多项式乘法的一个简单应用.这个习题方便学生后续的简便计算,因此特别做了补充. 第4题的设计是实际应用问题,既考察了数形结合思想,让学生对于图形和算式有一个更加准确的应用,也顺便考核学生化简求值类的题目,此问题比较综合,体现了整式乘法运算在生活中的实际应用,加深学生的认识,数学知识来源于生活,服务于生活. 变式提升这个环节的处理是在个人独立思考基础上，小组交流合作完成. 第1题这三道题，是在掌握多项式与多项式乘法法则基础上的进一步拓展，第（1）小题拓展为一个两项的多项式和一个三项的多项式相乘，让学生感受合并同类项前积的项数等于多项式项数之积. （2）小题，考察学生的整体思想，考察乘法分配律的应用，进一步提升学生的能力，灵活运用法则. 第（3）小题将本节课知识与前面所学知识综合，考察了学生对符号的处理. 第2题的设计是灵活的题目形式，考察学生知识的活学活用. 第3小题的设计是为了让学生快速计算多项式相乘的结果，对多项式的乘法有一个更深入的了解.同时也复习了数形结合的思想.为后续乘法公式、因式分解、函数等知识的学习打下坚实的基础. 第4小题设计了一个实际应用问题，让学生感受在生活中多项式乘以多项式的实际应用.进一步体会数形结合思想，应用多项式的乘法法则进行计算. 处理完前面的小试牛刀后，要留给学生两分钟的消化时间，一方面为基础薄弱的同学留下改错和向掌握好的同学请教的时间，另一方面也让掌握好的学生结合刚才的例题总结出做多项式与多项式相乘时，有哪些易错点.让学生反思总结，升华提高，再进行有目的的练习.
六、课堂小结 本环节用两个问题来串联起来： 今天我们学习了哪些内容？让学生通过回忆，对今天的内容整体上有个把握. 本节课用到了哪些常见的数学思想？ 课堂小结，回顾今天所学习的一些主要内容.请学生来总结一下，今天的所学，和需要特别注意的点，说出自己的困惑.学生总结易错点： 1、两个多项式相乘，是把一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，要注意不要漏乘； 2、进行乘法运算时，要注意确定积中各项的符号； 3、两个多项式相乘，他们的积是和的形式，在没合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积，注意检查. 学生整体把握今天的所学，有一个宏观的认识. 不拘泥于法则，理解多项式的乘法法则，灵活运用法则，注重知识之间的内在联系.把未知的知识和已知的知识紧密的衔接，注重知识的整体性.
七、课后作业 1.完成课本19页习题1.8知识技能与问题解决 布置作业，课后巩固练习
板书设计：
1.4整式的乘法（3） 1.多项式的乘法法则：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.例题讲解： 例1 计算:(1)(1－x)(0.6－x)； (2)(2x+y)(x－y)； 解：
六、课后教学反思
本课时的内容多项式乘以多项式，和前两节整式乘法单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的联系非常的紧密，在教学的时候，注重做好知识的前后衔接,这三个课时是一脉相承的.
本节课给足学生充分的活动时间的，让他们充分思考、交流、理解，用自己的语言总结出来多项式乘以多项式的乘法法则，不要求学生死记硬背.发展学生的识图能力，发展几何直观，能借助几何图形解释乘法法则.灵活运用乘法分配律，发展有条理的思考能力.能利用乘法分配律，把多项式乘以多项式转化为单项式乘以多项式.熟悉整体思想，转化思想.掌握基本的运算技能，准确计算，对于漏项，弄错符号等易错问题，要学生自己反思归纳.
对于学有余力的同学，设计了有挑战性的题目，进行适度的拔高，激发学生学习的兴趣.为后续继续研究乘法公式，打好坚实的基础.
