第一章 直角三角形的边角关系
“30°，45°，60°角的三角函数值”教学设计
一、教材分析
本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力.对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算.
教学目标
知识目标
1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
能力目标
1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
教学重点
1.探索30°，45°，60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点：三角函数值的应用
三、教学过程
1.由谜语引入新课：猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了。
（1）.探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
② sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
③ cos30°等于多少 tan30°呢
学生自主探究 30°角的三角函数值.
继续自主探究 60°角、45°角的三角函数值
教师提示学生BC=a，分别求出另外两条边的长.
（2）求出了30°角的三角函数值，在同一个图中求出60°的三个三角函数值.
（3）让学生画出45°角的三角形，根据图形求45°三角函数值.并完成下表
三角函数角 sinα coα tanα
30°
45° 1
60°
思考：
1．观察表格中函数值说说sinA和cosB之间的关系tanA和tanB之间的关系.
2、观察表格，随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况.
3、若对于锐角有sin=,则= .
2.例题讲解
例1、计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.
√
=0
基础练习1.求下列各式的值：
（1）1－2 sin300cos300
（2）sin2600+cos2600-tan450
练习2.求满足下列条件的锐角 α .
2sinα － = 0；
tanα－1 = 0.
小结：
1、已知特殊角可以求三角函数值；
2、已知特殊的三角函数值可以求特殊角。
巩固提升
练习3：1. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A．40° B．30° C．25° D．10°
已知 sinA = ，则下列正确的是 ( )
A. cosA = B. cosA =
C. tanA = 1 D. tanA =
练习4. 已知：| tanB－ | ＋ (2sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
3.知识运用
例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，
当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的
摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低
位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
目的
1、让学生能从实际问题中抽象出几何图形，利用几何图形解答实际问题
2、熟练30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
巩固练习
1. 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
4.课堂小结
本节课你学到了什么？
你还有什么问题
四、课后作业
习题1.3 1、2、3、4
选用作业
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若∠A=30°，则sinA= ，cosA= ，tanA= .
（2）若sinA=，则∠A= ，∠B= .
（3）若tanA=1，则∠A= .
2．在 △ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA＝
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则∠C =
4．计算
(1)3sin60°-cos30°
(2)sin30°tan60°
(3)2sin30°-3tan45°+4cos60°
5．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°.问河宽是多少？
B
C A
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
课堂小测（选用）
1、计算：
（1） （2）
（3）· （4）
2、（2012 乐山）在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,且tanA=,则∠A为( )°
A.30 B.45 C.60 D.90
4、(2012 济宁)在△ABC中,若,则∠C的度数为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5、已知∠B是锐角,若,则tanB的值为_______.
6、在ΔABC中,∠B=600,AB=10 ,BC=20，则ΔABC的面积为_______.
7、某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，
测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求BD的长 （2）求AD的长
附加
1.点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
2.一次函数y=ax+b的图象过点P(1，2)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于B，若tan∠PAO=，则点B的坐标是_________.
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C
（第2题）
（第6题）
4
7(共24张PPT)
课题：30°,45°,60°角的三角函数值
1.经历探索 30°， 45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值。（重点）
2.能够进行含有30°， 45°，60°角的三角函数值的计算。（难点）
3.能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。
学习目标
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，
3个头,尖尖角,我们学习少不了
情境引入
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所学知识，算出图中各锐角的三角函数值吗？
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
a
2a
设两条直角边长为a，则斜边长＝
45°
a
a
a
2a
60°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
归纳总结
三角
函数
锐角
a
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
找到规律，事半功倍
三角
函数
锐角
a
sin 30° = cos 60°
sin 60° = cos 30°
tan 30°· tan 60°=1
sin 45° = cos 45°
如果∠A ＋ ∠B=90 ° ，那么sin A = cosB , cos A = sinB ．
例题讲解
例1.计算：
(1) sin30°+ cos45°；
解：原式 =
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
老师提示:
sin2300表示(sin300)2,
cos2300表示(cos300)2,其余类推.
练习1.求下列各式的值：
（1）1－2 sin300cos300
（2）sin2600+cos2600-tan450.
解：
(1)1－2 sin300cos300
(2)sin2600+cos2600-tan450
牛刀小试（基础型）
练习2.求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
解：(1) sinα = ，
∴ ∠α = 60°.
(2) tanα =1，
∴ ∠α = 45°.
牛刀小试（提升型）
你得到什么启发？
启发
1、已知特殊角可以求三角函数值；
2、已知特殊的三角函数值可以求特殊角。
拓展提升
由特殊三角函数值确定锐角度数
考考你
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
拓展提升
练习3：1. tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A．40° B．30° C．25° D．10°
C
A. cosA = B. cosA =
C. tanA = 1 D. tanA =
2. 已知 sinA = ，则下列正确的是 ( )
B
巩固提升
解：∵ | tanB－ | ＋ (2 sinA－ )2 ＝0，
∴ tanB＝ ，sinA＝
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
练习4. 已知：| tanB－ | ＋ (2sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
∴tanB－ =0，
2 sinA－ ＝0.
怎样解答
巩固提升
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
知识讲解
例题讲解
2、如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∠AOD OD=2.5m,
A
C
O
B
D
┌
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
●
2.5
例题讲解
生活问题
数学模型
解决问题
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C
练习5：升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
生活问题
数学模型
解决问题
巩固提升
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C
答：国旗杆的高度为21.6米
本节课你学到了什么？
你还有什么问题
让我想想
课堂小结
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
三角
函数
锐角
a
sin 30° = cos 60°
sin 60° = cos 30°
tan 30°· tan 60°=1
sin 45° = cos 45°
如果∠A ＋ ∠B=90 ° ，那么sin A = cosB , cos A = sinB ．
归纳总结一
如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
A
C
O
B
D
┌
●
2.5
归纳总结二
生活问题
数学模型
解决问题
2.在△ABC中，若 ，则∠C=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
D
1. 求值：
课堂小测
解：
怎样解答
谢 谢！
