(共21张PPT)
课题：解直角三角形
教学目标
1.了解解直角三角形的含义
2.经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法
说说你所学过的直角三角形的有关知识？
1.三边关系：
a2+b2=c2
2.锐角之间关系：
∠A+∠B=90°
3.边角之间关系：
A
B
C
a
b
c
在直角三角形除直角外的五个元素中，按已知其中的两个元素，且至少有一个是边来分类，解直角三角形的问题 一般可分为两类：
a
b
c
A
B
C
（1）已知两边
（2）已知一边一角
斜边和一直角边
两直角边
斜边和一锐角
一直角边和一锐角
定义：由直角三角形中已知元素，求未知元素的过程，
叫做解直角三角形.
在△ABC中，
∠C＝900，
BC＝a，
AC＝b，
AB＝c.
a
b
c
A
B
C
已知条件
解法
一边一角
两边
一直角边 a 和斜边 c
两直角边 a 和 b
斜边 c 和锐角∠A
一直角边 a 及锐角∠A（一直角边 a 及相邻的锐角∠B可转化为其对角∠A）
∠B=90°-∠A , b=c · cosA (有弦用弦)，
(或 a=c·sinA ),(尽可能使用题中原有的数据）.
由 (有弦用弦)，
∠B=90°-∠A，(或 )，
（或 b = c · cosA）.
∠B=900-∠A , (无弦用切)，
( 或 ).
（或 ）.
由 (无弦用切)，
∠B=900-∠A，(或 )，
应用
⑴. 在Rt △ ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD中，∠C＝90°,
C
B
A
第（1）题图
A
C
D
第（2）题图
例1 根据下列条件，解直角三角形．
应用
⑴. 在Rt △ ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD中，∠C＝90°,
解:
C
B
A
第（1）题图
A
C
D
第（2）题图
例1 根据下列条件，解直角三角形．
应用
⑴. 在Rt △ ABC 中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD 中，∠C＝90°,
解:
C
B
A
第（1）题图
A
C
D
第（2）题图
例1 根据下列条件，解直角三角形．
例1 根据下列条件，解直角三角形．
应用
.
⑴. 在Rt △ ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD中，∠C＝90°,
A
C
D
第（2）题图
变式1 如图，在△ABD中， AB=6，
∠B=60°，求BD的长及△ABD的面积
C
B
A
第（1）题图
B
A
C
D
例1 根据下列条件，解直角三角形．
应用
.
⑴. 在Rt △ ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD中，∠C＝90°,
C
B
A
第（1）题图
A
C
D
第（2）题图
变式2 在△ABD中，AB=6，
求BD 的长及△ABD 的面积.
例1 根据下列条件，解直角三角形．
应用
.
⑴. 在Rt △ ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=600;
⑵. 在Rt △ ACD中，∠C＝90°,
C
B
A
第（1）题图
A
C
D
第（2）题图
变式2 在△ABD中，AB=6，
求BD 的长及△ABC 的面积.
A
C
D
B
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10, 点D是BC上一点，
且DC=AC,（1）. 求BD的长（2）. 求
A
B
D
C
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10,
点D是BC上一点，且DC=AC,
（1）. 求BD的长 （2）. 求
A
B
F
D
E
C
【分析】
（1）.过点A作AE⊥BC于点E，求出CE，BE，再由CD＝AC，可求出BD的长度．
（2）.过点D作DF⊥AB于点F，在Rt △ BDF中求出DF，BF，继而可得AF，从而可求tan ∠ BAD．
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10,
点D是BC上一点，且DC=AC,
（1）. 求BD的长 （2）. 求
解：（1）. 过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
在Rt △ACE中，AC＝10，sin C＝
∴AE ＝6，
∴CE＝
＝8，∴BC＝2CE＝16，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AC＝6．
（2）. 过点F作DF⊥AB于点F , BD=6,sin B＝sin C＝
∴DF＝
∴BF＝ ＝
∴AF＝AB﹣BF＝
A
B
F
D
E
C
例3 在△ABC中，=90°，AB=2 , BC=3, △AOB为等腰直角三角形，
求OC的长.
A
B
C
O
例3 在△ABC中，=90°，AB=2 , BC=3, △AOB为等腰直角三角形，
求OC的长.
A
B
C
O
解：∵ △AOB是等腰直角三角形
∴
∵
于点E
∴
∴ △OBE 为等腰直角三角形
∴
∴ CE=BC-BE=3-1=2
∴
E
如图，在△ABC中，∠B＝120°，∠C＝45°，AB＝4，求AC的长．
B
A
C
课堂反馈
如图，在△ABC中，∠B＝120°，∠C＝45°，AB＝4，求AC的长．
B
A
C
课堂反馈
D
解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D
∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°
∵AB=4, ∴ AD=
∵∠C＝45°
AC=
数学能力：
作三角形的高构造直角三角形的动手实践能力
01
02
数学思想：
转化的思想
数形结合思想
今天你有什么收获
请你谈谈对本节学习内容的体会和感受.
在遇到解直角三角形问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的,以得于分析解决问题;
选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”;
解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.
谢谢
再见第一章 直角三角形的边角关系
《解直角三角形》教学设计说明
一、教材分析
《解直角三角形》是北师大版九年级下册第一章第四节的内容. 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.，并熟知特殊角的三角函数值。本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.
二、学情分析
1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sin、cos、tan值.
2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.
3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.
三、教学任务分析
本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.通过直角三角形中边角之间关系的学习，整合三角函数的知识，归纳解直角三角形的一般方法.在呈现方式上，显示出实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际，同时还有利于数形结合.通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系.掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法.所以教学目标如下：
知识技能：初步理解解直角三角形的含义，知道解直角三角形的概念，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.
解决问题：在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数和勾股定理解决实际问题的过程，会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力
情感态度：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.
教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
四、教学过程
1. 知识回顾
1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）
2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？
讨论复习：
RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
总结： 直角三角形的边角关系
（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°
（2） 三边满足勾股定理：a2+b2=c2
（3） 边与角的关系：
EMBED Equation.3
定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.
2. 探究新知
从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义：
在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.
例题讲解
例1 ⑴在Rt△ABC中，∠C＝90° , AB=6，∠B=
（2）在Rt△ACD中，∠C＝90°,
变式1 如图，在△ABD中，AB=6，∠B=60°, , 求BD的长及△ABD的面积.
变式2 在△ABD中，AB=6，高求BD的长及△ABD的面积.
例2： 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10, ,点D是BC上一点，且DC=AC,（1）求BD的长 （2）求的值。
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.
4. 能力提升
1、等腰三角形ABC中，底边BC上的高AD＝4，sinB＝, 求BC、AC的长
2、在△ABC中，BC=√6 +√2, ∠C=45^°,AB=√2AC,求AC的长
解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”
五、课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么收获
六、作业布置：
1、习题1.5 1、2.
2、预习下一节内容，要求了解什么是仰角和俯角
七、板书设计：
§ 1.4 解直角三角形
一、概念 二、例题
解直角三角形定义： 例1：
例2：
A
c
b
a
B
C
