“三角函数的应用”教学设计
一、教学目标
知识与技能
1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
数学思考与问题解决
1、在经历探索船是否有触礁危险的过程中，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
2、进一步感受数形结合的思想，能将实际问题抽象成数学问题.
3、力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸.
情感与态度
1、在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2、选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
3、通过问题情境的创设和引导学生主动探究，主动参与，体会数学的应用意识，同时体验成功的快乐，培养学生的合作精神和求真务实的科学态度.
二、教学重点与难点：
教学重点：
1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2、发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点：
根据题意，准确地画出示意图，灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.
教学 环节 教 学 内 容 师生活动 设计意图
回 顾 与 思 考 回顾与思考 除直角外，已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的三个未知元素。 如图: （1）若已知：a，b,如何求其他各边、各角？ （2）若已知：b，c,如何求其他各边、各角？ （3）若已知：∠A，a,如何求其他各边、各角？ （4）若已知：∠A，c,如何求其他各边、各角？ 2.解直角三角形的依据: （1）直角三角形中，三边的关系？ （2）两个锐角的关系？ （3）边与角的关系？ （4）互余两角之间的三角函数关系？ （5）同角之间的三角函数关系？ （6）30°、45°、60°角的三角函数值是多少 教师引导学生快速回忆上节课内容，教师提问,学生回答。 教师板书课题：1.5三角函数的应用 温故而知新，为学习新课做充足的储备。
情 景 引 入 创设情境、引入课题 探究一：船会触礁吗？ 例1：海中有一个小岛Ａ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在Ａ岛南偏西55°的Ｂ处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的Ｃ处之后，货轮继续往东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 教师提出问题： 1.1.货轮要向正东方方向继续行驶有没有触礁的危险，决定因素是什么？ 2.AD如何求？有哪些已知条件？ 3.你能在Rt△ABD和Rt△ACD哪个三角形中求出AD？ 从熟知的现实情景入手，既抓住学生的注意力，又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，从而激发学生探究的积极性.
自 主 探 究 归 纳 三、引导探究，数学建模 探究二：塔有多高？ 随堂练习1.小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m) 探究三：楼梯加长了多少？ 例2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾斜角由45°减至30°,已知原楼梯长为4米. 建构直角三角形，利用三角函数解答. 先让学生在规定时间内完成，教师给出参考的解答过程,及时提醒学生应注意的问题，规范书写过程. 指导学生：如果缺少数据，可以巧设未知数，起到解答的辅助作用. 教师先提问：仰角30°，仰角60°分别是指哪两角？ 学生明确仰角30°是∠DAC，仰角60°是∠DBC，再仿照例1的方法，探索出解题思路. 教师对在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形的学生给予肯定和表扬.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解. 引导学生探究后，学生先独立思考与完成，再与老师的答案核对，达到互通有无、查缺补漏的作用.培养学生自主学习的能力. 把问题分解，使问题化为几个难度小的小问题，先解决小问题，再形成整个问题的解决.培养学生有条理地安排解题步骤的能力. 学习用方程的方法解决问题，鼓励学生，培养学生学习数学的兴趣，增强其自信心.
自 主 探 究 归 纳 （1）调整后的楼梯有多长？ （2）新楼梯多占多长一段地面？ (结果精确到0.01m) 归纳提升，数学建模： (1)如图①, 若已知∠A,∠2,AC=m. 如何求图中其余各线段的长. (2)如图②, 若已知∠B,∠C,BC. 如何求△ABC其余各边的长. (3) 图②中, 若已知∠B, ∠C, AB.如何求△ABC 其余各边的长. 四、解决问题，能力提升 随堂练习2：一灯柱AB被一钢缆CD固定. CD与地面成45°夹角,且DB=5m. 现再在CD上方2m处加固另一根 钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为 多少 (结果精确到0.01m). 继续引导学生根据题意，画出示意图，将实际问题转化成数学问题. 重点指导第二个问题. 教师引导学生分析要得到楼梯加长的长度，需要求得哪些线段？楼梯比原来多占的是哪条线段的长度？ 要求学生在规定的时间内独立完成，把解答过程写到练习本上，再核对老师给出的参考答案. 归纳提升， 数学建模. 教师分析， 学生独立完成. 进一步感受数形结合的思想，将实际问题抽象成数学问题. 力图引发学生从探索过程中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸. 通过练习，及时巩固所学知识，熟悉掌握对应的数学模型，提高知识的应用能力.
小 结 与 反 思 本节课你收获了什么？ 知识与技能： 1.探索船是否有触礁危险的过程，体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题,画出示意图,进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明. 数学思想方法： 1.数形结合的思想； 2.方程的思想； 3.建构数学模型的思想. 六、课后练习：大坝问题(可课后独立完成） 如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ) . 学生自己总结知识，畅谈收获和体会. 教师指点学生正确总结与反思. 布置随堂巩固练习，将实际问题抽象为数学问题，确定数学模型，快速找到解题思路. 对本节所学知识进行总结，巩固对知识的理解. 熟悉此类题相关的数学模型，并灵活应用.
布置 作业 1、必做题：习题1.6第1题、第2题. 2、选做题：习题1.6第3题、第4题. 教师提出要求， 学生独立完成. 巩固所学知识(共18张PPT)
课题：1.5 三角函数的应用
如图:
（1）若已知：a，b, 如何求其他各边、各角？
（2）若已知：b，c, 如何求其他各边、各角？
（3）若已知：∠A，a,如何求其他各边、各角？
（4）若已知：∠A，c, 如何求其他各边、各角？
1.除直角外，已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的三个未知元素。
【回顾与思考】
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）
2.解直角三角形的依据:
(2)锐角之间的关系:
∠A＋∠B＝90
(3)边角之间的关系:
A
C
B
a
b
c
【回顾与思考】
【回顾与思考】
（6）特殊角30 ,45 ,60 角的三角函数值.
（4）互余两角之间的三角函数关系:
（5）同角之间的三角函数关系:
sinA =cosB
例1：海中有一个小岛Ａ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在Ａ岛南偏西55°的Ｂ处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的Ｃ处之后，货轮继续往东航行。
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
思考：
1.货轮要向正东方向继续行驶有没有触礁的危险，决定因素是什么？
【情境引入】
2.AD 如何求？有哪些已知条件呢？
3.在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，你能在哪个三角形中求出AD 呢？
探索一：船会触礁吗？
解:如图,过点A作AD⊥BC 的延长线于点D,根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
D
┌
A
B
C
北
东
550
250
在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
而 BC=BD-CD
如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高
(小明的身高忽略不计，答案精确到1m)
50m
30°
60°
【随堂练习1】
探索二：塔有多高？
D
A
B
C
┌
50m
300
600
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,
∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则
在Rt△ACD 和Rt△BCD中,∠ADC=600,∠BDC=300
而 AC-BC =AB
例2：某商场准备改善原来楼梯的安全性能,把倾斜角由45°减至30°,已知原楼梯长为4米.
（1）调整后的楼梯有多长？
（2）新楼梯多占多长一段地面？ （答案保留根号）
【能力提升】
探索三：楼梯加长了多少？
解:如图,根据题意可知,∠D =300,∠ABC=450, AB=4m.
(1)调整后的楼梯有多长？
即求AD的长.
D
A
C
B
┌
4m
300
450
在Rt△ABC中，
在Rt△ADC中，
即求BD的长.
D
A
C
B
┌
4m
300
450
（2）新楼梯多占多长一段地面？
(1)如图①, 若已知∠A,∠2,AC=m,
如何求图中其余各线段的长.
(2)如图②, 若已知∠B,∠C,BC,
如何求△ABC其余各边的长.
D
(3) 图②中, 若已知∠B,∠C,AB,
如何求△ABC其余各边的长.
图①
图②
【归纳小结】
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成450夹角,且DB=5米.在CD上方2米处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 （结果精确到0.01m）
E
B
C
D
2m
450
5m
【随堂练习2】
解:如图,根据题意可知,∠CDB=450,EC=2m,DB=5m.
答:钢缆ED的长度约为8.6m.
在Rt△DBC中，
E
B
C
D
2m
450
5m
本节课,你收获了什么？
知识与技能：
1.探索船是否有触礁危险的过程，体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，画出示意图，进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
数学思想方法：
1.数形结合的思想;
2.方程的思想;
3.建构数学模型的思想.
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石料？(结果精确到0.01m3 )
A
B
C
D
【课后练习】
解:(1)求坡角∠ABC的大小;
A
B
C
D
6m
8m
30m
1350
过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
E
┐
F
┌
∴∠ABC≈17°8’21’’
答:坡角∠ABC约为17°8’21’’ .
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石料？结果精确到0.01m3 )
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
100m
A
B
C
D
6m
8m
30m
1350
E
┐
F
┌
