(共35张PPT)
2.2 二次函数的图象与性质
（第一课时）
1.会用描点法画二次函数y=x 与y=-x 的图象．
2.通过对二次函数y=x 与y=-x 图象的探究，
理解并掌握y=x 与y=-x 的性质．
3.积累利用图象研究函数性质的经验，体会
函数图象在研究函数性质中的作用，感受
数形结合的思想.
【学习目标】
你还记得学习过哪些函数吗？
怎么研究这些函数？
一次函数、反比例函数
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
【复习引入】
1.解析式
一次函数： y=kx+b （k,b为常数， k≠0）
反比例函数： y= （k为常数，k≠0）
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
画一个函数图象的基本步骤是什么？
2.图象
一次函数的图象是一条直线，
反比例函数的图象是双曲线.
反比例函数图象
x
y
0
一次函数图象
x
y
0
二次函数的解析式：
y=ax +bx+c （a,b,c为常数，a ≠0）
想一想，动手画一画：
能否用描点法，画出二次函数y=x 的图象呢？
【讲授新课】
x … …
y=x … …
描点法：列表→描点→连线
1.列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
y=x 的图像
描点法：列表→描点→连线
2.描点：根据表中x和y的数值，在直角坐标系中描点.
(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),
(1,1),(2,4),(3,9).
y=x 的图像
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
描点法：列表→描点→连线
3.连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象.
y=x 的图像
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
(-3,9)
(3,9)
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
y=x
观察图象，尝试回答以下问题：
1.你能描绘图象的形状吗？
二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
y=x
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
y=x
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；
x＜0
x＞0
y=x
当x＞0时，y随x的增大而增大.
4.当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？
5.图象是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
当x=0时，
是轴对称图形，对称轴是y轴.
y=x
请同学们找出几对对称点，并与同学交流.
y=x
(-,)
(,)
(-,)
(,)
顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
y=x
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向上
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），
也是最低点.
5.增减性：
x＜0，y随x增大而减小；
x＞0，y随x增大而增大.
y=x
例1 抛物线y=x 不具有的性质是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．图象最低点是原点
C
减小
二次函数y=-x 的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1.列表
y=-x
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
2.描点
3.连线
y=-x
归纳：
1.形状
2.开口方向
3.对称轴
4.顶点
5.增减性
y=-x
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向下
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），
也是最高点.
5.增减性：
x＜0，y随x增大而增大；
x＞0，y随x增大而减小.
y=-x
观察并比较二次函数y=x 的图象与y=-x 的图象，它们有什么共同点，又有什么区别？
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数增减性
函数最值
（0，0）
（0，0）
y轴（直线x=0）
向上
向下
当x＜0时,y随着x的增大而减小
当x＞0时,y随着x的增大而增大
当x＜0时,y随着x的增大而增大
当x＞0时,y随着x的增大而减小
当x=0时,y有最小值0；无最大值.
当x=0时,y有最大值0；无最小值.
抛物线
抛物线
y轴（直线x=0）
例2 下列说法：
(1)二次函数有最大值，最大值为
(2)二次函数有最小值，最小值为
(3)二次函数有最大值，最大值为
(4)二次函数有最小值，最小值为．
其中，正确的是
A. (1) (2) B. (1) (3) C.(2) (3) D. (2) (4)
C
×
×
√
√
1.二次函数y=x 的图象顶点是_____，对称轴是_____，若点（m，16）在其图象上，则m的值是_____.
【课堂训练】
2.下列关于二次函数和的异同点说法错误的是
A. 和有共同的顶点和对称轴
B. 和开口方向相反
C. 和都是关于轴成轴对称
D. 点A（-3，9）在，也在
1.二次函数y=x 的图象顶点是___________，对称轴是___________，若点（m，16）在其图象上，则m的值是__________.
（0，0）
y轴
4或-4
2.下列关于二次函数和的异同点说法错误的是
A. 和有共同的顶点
B. 和开口方向相反
C. 和都是关于轴成轴对称
D.点A（-3，9）在，也在
D
×
【课堂小结】
【课后作业】
课本P34，习题2.2
1.设正方形的边长为a,面积为S,试画出S随a的变化而变化的图象.
2.点A(2,4)在二次函数y=x 的图象上吗 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B,C,D在二次函数y=x 的图象上吗 在二次函数y=-x 的图象上吗
【实践探究】
寻找生活中的抛物线并拍照记录，和其他同学分享自己找到的抛物线,说一说它们有什么样的性质.
相同点：
1.开口向下
2.轴对称图形
3.有最高点
一个抛物线“瘦高”，一个抛物线“矮胖”，是什么原因呢？
你收获了什么？
在数学的天地里，
重要的不是我们知道什么，
而是我们怎么知道的.“二次函数的图象与性质（1）” 教学设计
一、教材分析...........................................3
二、学情分析...........................................3
三、教学目标...........................................3
四、教学重难点.........................................4
五、课时安排...........................................4
六、教学过程...........................................4
一、教材分析
本节课是北师大版九年级下册的第二章“二次函数”第二节“二次函数的图象与性质”第一课时.
二次函数是《课程标准》中“数与代数”部分的内容，是基本初等函数.对二次函数的研究，将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础.
在上一节课，学生对二次函数的概念有了一定认识.基于此，本节课的主要内容是运用描点法画出最简单的二次函数y=x 与y=-x 的图象，并引出抛物线的概念，在此基础上进一步研究函数图像，认识、归纳、理解、掌握y=x 与y=-x 的性质.通过这节课的学习，充分运用数形结合思想，学生进一步积累研究函数性质的经验，提高类比学习能力，发展几何直观和求同存异思维，为下一课时探索较复杂的二次函数的图象及性质乃至以后学习研究新的函数做好铺垫.
二、学情分析
学生在八年级上册和九年级上册已经学习过一次函数、反比例函数，学会了用描点法画函数图象的方法，已具备了一定的作图能力，并积累了利用函数图象探索函数性质的经验.在本章第一节课中，学生学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.
三、教学目标
1.会画二次函数y=x 与y=-x 的图象．
2.通过对二次函数y=x 与y=-x 图象的探究，理解并掌握y=x 与y=-x 的性质，进一步学习研究函数的基本思想方法．
3.积累利用图象研究函数性质的经验，体会函数图象在研究函数性质中的作用，感受数形结合的思想.
四、教学重难点
重点
能够利用描点法作出二次函数y=x 与y=-x 的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=x 与y=-x 的性质，分析二者的异同点.
难点
理解并掌握运用函数图像研究函数性质的基本思想方法.
五、课时安排
本节内容分四个课时，对二次函数的图象与性质的研究，经历了由简单到复杂，由一般到特殊的过程.
本课时主要内容是用描点法画出二次函数y=x 与y=-x 的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验.
六、教学过程
师生活动 设计意图
【复习引入】你还记得学习过哪些函数吗？一次函数、反比例函数.怎么研究这些函数？1.解析式2.图象3.性质4.应用 设置问题，引发学生思考并回顾学过的函数以及研究函数的方法，与结语首尾呼应，无形中强调“方法”的重要性.
1.解析式一次函数： y=kx+b （k,b为常数， k≠0）反比例函数：y= （k为常数，k≠0）画一个函数图象的基本步骤是什么？描点法：1.列表 2.描点 3.连线2.图象 一次函数的图象是一条直线， 反比例函数的图象是双曲线. 回顾一次函数和反比例函数学习时从“解析式”到“作图”的学习过程，复习“描点法”的三个步骤，帮助学生体会函数的研究过程，为接下来类比学习二次函数的图像和性质做铺垫.通过从“解析式”到“作图”的学习过程，锻炼学生建立数与形之间的联系的能力，领会数形结合思想.
二次函数的解析式： y=ax +bx+c （a,b,c为常数，a ≠0） 回顾上一节课学习的二次函数概念，类比一次函数和反比例函数的探究方法，引入新课.
【讲授新课】想一想，动手画一画：能否用描点法，画出二次函数y=x 的图象呢？列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.2.描点：根据表中x和y的数值，在直角坐标系中描点.3.连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x 的图象. 提出问题，引导学生用描点法作出二次函数y=x 的图象.通过填表，引导学生理解“适当”的含义.利用PPT动画演示，向学生展示更加准确的函数图象，不仅为学生理解和掌握函数图象提供更多的形象支持，同时也可以让学生获得视觉上的愉悦，增强好奇心，激发学习兴趣.
观察图象，尝试回答以下问题：1.你能描绘图象的形状吗？二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.2.图象和x轴有交点吗？ 如果有，交点坐标是什么？有交点，交点坐标是（0，0）.3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.4.当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？当x=0时，y的最小值为0.5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请同学们找出几对对称点，并与同学交流.是轴对称图形，对称轴是y轴.顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点. 通过生活中的“抛物线”，让学生体会数学与生活密不可分的关系，引导学生用数学的眼光观察现实世界，同时，也让学生感受到二次函数在实际生活中的重要性.提出五个问题，引导学生通过观察图象，从形状、交点、增减性、最值这四个角度思考函数相关性质，积累从图象的角度研究函数性质的经验，并引导学生用数学语言对所发现的性质进行合适的表达.
归纳：1.一条抛物线2.开口向上3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最低点.5.增减性： x＜0，y随x增大而减小； x＞0，y随x增大而增大. 在回答了五个问题之后，引导学生对五个问题的答案进行总结归纳，加深对二次函数y=x 性质的理解玉掌握，为二次函数y=-x 性质的研究和归纳做铺垫.
例1 抛物线y=x 不具有的性质是（ ）A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．图象最低点是原点 通过例题，加强巩固对二次函数y=x 相关性质的理解和掌握.
二次函数y=-x 的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象.列表 2.描点 3.连线 在学习了二次函数y=x 的作图方法的基础上，引导学生类比学习二次函数y=x 的作图方法，强化学生对描点法的三个步骤的运用，积累运用描点法做出函数图象的经验.
归纳：1.形状2.开口方向3.对称轴4.顶点5.增减性归纳：1.一条抛物线2.开口向下3.关于y轴（直线x=0）对称4.有顶点（0，0）， 也是最高点.5.增减性： x＜0，y随x增大而增大； x＞0，y随x增大而减小. 在归纳总结了二次函数y=x 的相关性质的基础上，学生已经对简单的二次函数性质有了一定的了解.同时，九年级的学生具有一定的思考能力和知识迁移的能力.因此，没有直接给出结论，而是引导学生从形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性这五个方面，尝试自主类比归纳二次函数y=-x 的性质，经历探索知识的过程，真正让获取知识的方法内化.不仅能激发学生思考，而且提高学生自主探究和归纳总结的能力，积累数学基本活动经验.在学生自主完成归纳总结之后，在带领学生一起梳理二次函数y=-x 的性质.
观察并比较二次函数y=x 的图象与y=-x 的图象，它们有什么共同点，又有什么区别？ 在做出函数y=x 和y=-x 的图象、归纳总结了二次函数y=x 和y=-x 的性质的基础上，引导学生对比两个图象，观察、探究、分析、归纳两个函数的异同点，培养学生分析问题、关注知识之间联系的能力.
例2 下列说法：(1)二次函数y=x 有最大值，最大值为0(2)二次函数y=x 有最小值，最小值为0(3)二次函数y=-x 有最大值，最大值为0(4)二次函数y=-x 有最小值，最小值为0其中，正确的是（ ）A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (3) D. (2) (4) 通过例题，加强巩固对二次函数y=-x 相关性质的理解和掌握.
【课堂训练】1.二次函数y=x 的图象顶点是_____，对称轴是_____，若点（m，16）在其图象上，则m的值是_____.2.下列关于二次函数 y=x 和 y=-x 的异同点说法错误的是( )A. y=x 和 y=-x 有共同的顶点和对称轴
B. y=x 和 y=-x 开口方向相反
C. y=x 和 y=-x 都是关于y轴成轴对称
D. 点A（-3，9）在 y=x ，也在y=-x 通过两个课堂训练，加深学生对二次函数y=x 和y=-x 的理解和掌握.
【课堂小结】 通过知识框架的呈现，帮助学生梳理本节课所学内容、探究思路、研究方法，理解本节课的核心内容——二次函数y=-x 和y=-x 的图像与性质.
【课后作业】课本P34，习题2.21.设正方形的边长为a,面积为S,试画出S随a的变化而变化的图象.2.点A(2,4)在二次函数y=x 的图象上吗 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B,C,D在二次函数y=x 的图象上吗 在二次函数y=-x 的图象上吗 课后作业的布置严格按照“双减”政策的要求，选取了北师大版本教材本节课对应的习题.习题难度适中，题量合适，既可以帮助学生巩固知识、提升能力、培养习惯，也不会给学生带来不合理的作业负担.
【实践探究】寻找生活中的抛物线并拍照记录，和其他同学分享自己找到的抛物线,说一说它们有什么样的性质.相同点：1.开口向下2.轴对称图形3.有最高点一个抛物线“瘦高”，一个抛物线“矮胖”，是什么原因呢？ 除了书面作业，还设计了体现素质教育导向的实践探究作业.实践探究作业难度较小，重在激发学生对数学的兴趣，培养学生在生活中体会数学的能力.同时，通过设置问题，引发学生的思考和探究的积极性，为下一节课学习二次函数y=ax 的图像与性质奠定基础.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么. 结语和开篇的第二个问题首尾呼应，让学生感受“方法”的重要性，在学习知识的同时，也重视研究方法的理解和掌握.
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