“二次函数”教学设计
一、教材分析
《二次函数》是北师大版九年级下册第二章《二次函数》第一节内容.注重实际问题情境的创设，帮助学生形成模型思想；注重知识之间的联系；引导学生积极思考.本节通过对具体情境的分析，概括出二次函数的表达形式，明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识，理解二次函数的意义.
二、学情分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.学生曾在七年级下册、八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”和九年级上册学习过“反比例函数”等内容，对函数已经有了深刻的认识.在此基础上讨论二次函数，进一步领悟函数的概念及用函数观点处理实际问题的经验，这对后继学习会产生积极影响.
三、教学目标
1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系
3.通过实际情境能观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想.
四、教学重难点
教学重点：二次函数的定义，表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点：对实际问题的分析，体会二次函数的意义，形成模型思想.
五、教学过程设计
（一）复习回顾
1.函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有_____________________，那么我们就说x是_____________________，y是x的_____________________.
一次函数（图像）
反比例函数（图像）
篮球的运动轨迹、喷泉水流、隧道顶部，以上几种现象会与某种函数有联系吗？
（二）新知初探
【1】小明家果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中的变量有？其中哪些是自变量，哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，这时平均每棵树结_____________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为:_____________.
【2】小明卖完橙子后准备把钱存入银行.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
【3】两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
【4】已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
【合作探究】观察三个式子的共同点:
（1）y=-5x2+100x+60000；
（2）y=100x2+200x+100；
（3）y=-x2+20x.
归纳：
（三）概念明晰
二次函数的概念：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
【满足条件】
1.整式；2.自变量最高次为2次；3.二次项系数 a≠0.
数学理解1
同一个函数可以表达不同的实际意义
【自变量】
在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是_________；
在实际问题中，自变量的取值要使_________有意义.
数学理解2
你能说出一个二次函数的例子吗？
【1】一块边长为a的正方形草坪，正方形面积A与边长a的关系为A=a2.
【2】圆形的硬币，圆的面积S与半径r的关系为S=πr2.
【3】自由落体，物体下落的高度h与下落的时间t的关系为.
（四）课堂检测
1.下列函数中（x,t是自变量），判断哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c．
2.圆的半径是1cm，假如半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当圆的半径分别增加1 cm，cm，2 cm时，圆的面积各增加多少？
（五）拓展提升
3.深圳某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件.为了调查该种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量为t（件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：t=-3x+70.请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系．
课堂小结(共16张PPT)
课题：2.1二次函数
一、复习回顾
1.函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 ，那么我们就说x是 ，y是x的 .
唯一确定的值与其对应
自变量
函数
2.一次函数
3.反比例函数
篮球的运动轨迹
喷泉水流
以上几种现象会与某种函数有联系吗？
隧道顶部
【1】小明家果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
二、新知初探
(1)问题中的变量有：
①橙子树的棵数
③橙子树接受阳光的多少
自变量
因变量
②橙子树之间的距离
④橙子的个数
⑤果园橙子的总产量
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，
这时平均每棵树结_____________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________.
【1】小明家果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
二、新知初探
果园原来有100棵
（100+x）
（600-5x）
每棵树少结5x个
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000
橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量
【2】小明卖完橙子后准备把钱存入银行.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
解：y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
关键词：年利率是x，
基本等量关系：本息和=本金+利息
一年后：本息和=100(x+1)
本金=100元，
2年后本息和.
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
【3】两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
【4】已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
想一想
另一个数为(20-x)
长+宽=20cm
矩形面积=长×宽
【合作探究】观察三个函数表达式的共同点:
（1）y=-5x2+100x+60000；
（2）y=100x2+200x+100；
（3）y=-x2+20x.
(1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
归纳：
二次函数的一般形式: y= ax2+b x+c (a , b , c为常数， a≠0).
一次项
二次项
常数项
二次项系数
一次项系数
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
二次函数的概念：
【满足条件】
1.整式；2.自变量最高次为2次；3.二次项系数 a≠0.
三、概念明晰
【自变量】在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是 ；
在实际问题中，自变量的取值要使 有意义.
实际问题
全体实数
【3】两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
【4】已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
数学理解1
【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义
0x取全体实数
你能说出一个二次函数的例子吗？
数学理解2
【1】一块边长为a的正方形草坪，正方形面积A
与边长a的关系为 A=a2
【2】圆形的硬币，圆的面积S与半径r的关系为
S=πr2
【3】自由落体，物体下落的高度h与下落
的时间t的关系为
BBC真空实验室的自由落体运动
1.下列函数中（x,t是自变量），判断哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c．
四、课堂检测
√ a=3,b=0,c=-
× 最高次为3次
√ a=5,b=1,c=1
√ a=-2,b=3,c=0
× a≠0
× 整式
√ y=3x2-6x+4
a=3,b=-6,c=4
× y=4x+4
最高次为1次
判断：化简为y=ax2+bx+c，a≠0，b，c可以等于0，且为整式
2.圆的半径是1cm，假如半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，圆的面积各增加多少？
解：(1)y=π(x+1)2-π.12=πx2+2πx
(2)当x=1时，增加的面积为y=π.12+2π.1=3π cm2；
当x=时，增加的面积为y=π.（）2+2π.=2（1+）π cm2；
当x=2时，增加的面积为y=π.22+2π.2=8π cm2.
圆的面积=πr2
增加的面积=新圆的面积-旧圆的面积
圆的半径增加1 cm，即x=1，代入函数关系式求值即可
五、拓展提升
3.深圳某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件.为了调查该种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量为t（件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：t=-3x+70.请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系．
利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量
即y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400
六、课堂小结
生活实际
二次函数
抽象
1、定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
3、判断：化简为一般形式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，a≠0，b，c可以等于0，是整式
2、自变量的一般取值范围是全体实数，但在实际问题中，有意义.
刻画
二次函数的图像与性质？
4、用二次函数模型刻画现实世界
