§1.3.2 线段的垂直平分线（2）
一 、教材的地位和作用
“线段垂直平分线（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第三节第二课时。本节课主要研究的是线段垂直平分线相关的结论以及如何运用尺规作出符合条件的等腰三角形，这是在已经学习过等腰三角形、线段垂直平分线的性质和判定定理等知识的基础上进行的，它既是前面所学知识的深化和应用，又为后期学分线相关性质的研究提供了基本思路，即“数学类比研究思想”的再应用，所以它在教材中处于非常重要的地位。
二、学生知识状况分析
通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．
三、教学目标
在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的目标为：
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
四、教学重点与难点
重点：
①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．
②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
难点：证明三线共点。
五、教学关键
运用观察、操作来领悟规律，以线段垂直平分线的性质和判定定理为推理工具，在交流中突破难点。
六、教学方法
在学生实践操作、合作探究的基础上，运用直观教学发现法启发学生发现知识，再运用启发式教学法引导学生运用知识分析和解决问题，并利用多媒体辅助教学。
七、教具学具准备
课件、三角尺、圆规、自制三角形纸片（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个）
八、教学设计
（一）创设情境 激活思维
1．说一说线段垂直平分线的性质定理？
2．说一说线段垂直平分线的判定定理？
3．作线段AB的垂直平分线
［设计意图：从学生的知识水平出发，设置问题，激发学生思考，启动学习所必需的先前经验，唤起学生的学习需要，为下面探究活动作铺垫。］
（二）问题探究 思维生长
活动一：动手操作，猜想论证
折一折：拿出准备好的三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线（画出折痕），观察这三条垂直平分线，你发现了什么
教师引导示范，学生动手操作；
教师：通过动手操作，你发现了什么？
学生1：我发现了---锐角三角形三边上的垂直平分线相交于一点；
学生2：我发现了---直角三角形三边上的垂直平分线也相交于一点；而且它的交点刚好在斜边的中点上；
教师：那运用钝角三角形进行折叠的同学，有什么发现呢？
学生3：找不到交点...
教师：好，刚刚运用锐角三角形和直角三角形进行操作的同学发现了它们三边上的垂直平分线相交于一点，但是运用钝角三角进行操作的同学，却发现找不到三边垂直平分线的交点，这是怎么回事呢？下面请同学们运用尺规作图的方法试一试画一画三角形三边的垂直平分线，看一看会有什么新的发现呢？
画一画：分别作出△ABC的三边的垂直平分线。观察这三条垂直平分线,你发现了什么
学生：根据线段垂直平分线的作图方法，画出三角形三边上的垂直平分线，并展示作图结果；
教师：通过作图结果，你们发现了什么？
师生：共同总结下面结论：
小结1：任意三角形三条边的垂直平分线 .锐角三角形三边的垂直平分线的交点在 ,直角三角形三边的垂直平分线的交点在 ,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在 .
［设计意图：八年级学生的思维以具体形象为主，要解决这一矛盾，最有效的方法就是让学生多种感官参与，开展操作活动，并与积极的思维活动紧密结合。本环节的设置，从动手操作、观察发现、作图验证的思路，引导学生从特殊到一般性问题的研究方法，为学生提供参与数学活动的时间与空间，进而为后期垂直平分线相交于一点以及交点到三角形三个顶点的距离相等的逻辑认证提供直观铺垫.］
证一证：
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，
连接AP，BP，CP．
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论 ” （交点P到三角形三个顶点的距离相等）
小结2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 .
几何语言：
［设计意图：发展学生逻辑推理思维，巩固前面所学知识的同时，也是对所学知识的一种灵活运用！］
活动二：应用所学，研究作图
议一议：
(1)已知三角形的一条边长为5cm以及这条边上的高为3cm，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
(2)已知等腰三角形的底边为5cm以及底边上的高为3cm，你能作出三角形吗 能作几个
引导学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。
［设计意图：分层设计问题，逐步引导学生感受作图唯一性的条件，通过最后一个问题，让学生掌握“根据已知条件作图”的过程，为后面运用所学，升华知识，动手操作的训练作铺垫。］
活动三：动手操作，升华知识
用尺规作已知直线的垂线.
1.如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线.
2.如图，点C在直线上，试过点C画出直线l的垂线.
（三）典型例题，巩固新知
1.地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．△ABC三边垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
2.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( )
［设计意图：运用变式练习，巩固所学的垂直平分线相关重要结论以及对尺规作图的理解，培养学生系统运用知识的能力，通过当堂检测学生的学习效果。］
（四）归纳小结，反思提高
1.说一说三角形三条边的垂直平分线有什么特点？
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；
(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．
2.如何过一点作已知直线的垂线？
作线段的垂直平分线
［设计意图：有意识地引导学生对所学内容进行知识体系的建构，借助于课件适时、灵活地投影展示，帮助学生理清知识线索，从整体上把握知识体系，掌握重点，突破难点。］
（五）分层作业，深化新知
基础作业
教材第26页习题1.8第1、2题
能力作业
教材第27页习题1.8第4题
［设计意图：作业分为基础题和能力题，体现分层教学的理念，也是即让不同的学生得到不同的数学发展！］
（六）板书设计(共20张PPT)
课题：线段的垂直平分线（2）
1、说一说线段垂直平分线的性质定理？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2、说一说线段垂直平分线的判定定理？
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3、作线段AB的垂直平分线.
创设情境，激活思维
折一折：拿出准备好的三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线（画出折痕），观察这三条垂直平分线，你发现了什么
活动一：动手操作
问题探究，思维生长
创设情境，激活思维
画一画：分别作出△ABC的三边的垂直平分线.
观察这三条垂直平分线,你发现了什么
活动一：猜想论证
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
内部
斜边中点
外部
证一证：证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点
到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个
端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.
问题探究，思维生长
证一证：证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：P点在AC的垂直平分线上．
PA=PB=PC
问题探究，思维生长
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：
在△ABC中，
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
问题探究，思维生长
问题探究，思维生长
议一议：(1)已知三角形的一条边长为5cm以及这条边上的高为3cm，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
答：能画出来
能画无数个
它们不一定全等
活动二：应用所学，研究作图
问题探究，思维生长
(2)已知等腰三角形的底边为5cm以及底边上的高为3cm，你能作出三角形吗 如果能，请把它画下来.
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗
5cm
3cm
问题探究，思维生长
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求的等腰三角形
a
h
N
M
D
C
B
A
问题探究，思维生长
已知：线段BC
求作：线段BC的垂直平分线MN
N
M
D
C
B
A
小结：这是尺规作图的基本作
图之一，它为我们提供了构造
已知线段垂线的方法，也是取
线段中点的作图方法.
问题探究，思维生长
l
l
活动三：动手操作，升华知识
（2）当点Ｃ在直线l上
（1）当点Ｃ在直线l外
过点Ｃ作已知直线l的垂线.
问题探究，思维生长
l
分析：在直线l上构造线段DE，使
得点C在线段DE的垂直平分线上.
则需满足CD＝CE.
Ｄ
Ｅ
（1）当点Ｃ在直线l外
作法：
（1）任取一点K，使点K和点C在直线l的两侧.
（2）以C点为圆心，CK长为半径画弧，交直线l于点D和点E.
（3）分别以D、E两点为圆心,以大于ＤＥ长为半径画弧，两弧相交于F点；
（4）作直线CF.
则直线CF就是所求作的.
l
问题探究，思维生长
问题探究，思维生长
l
分析：在直线l上构造线段DE，使
得点C在线段DE的垂直平分线上.
则需满足CD＝CE.
（2）当点Ｃ在直线l上
小结
基本作图：
过一点作已知直线的垂线
这种基本作图，今后都不要求写作法，只需保留作图痕迹即可！
巩固练习
1．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．△ABC三边垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
A
到A，B，C三个点的距离相等
巩固练习
2.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( )
D
归纳小结，反思提高
谈谈本节课最大的收获。
1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.通过本节课，我们学会了过一点作已知直线的垂线.
分层作业，深化新知
基础作业
教材第26页习题1.8第1、2题
能力作业
教材第27页习题1.8第4题
