1.4 角平分线（第二课时）教学设计
一、教材的地位和作用
“角平分线（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书(北师大版）数学》八年级下册第一章第4节。在此之前学生在七年级学习了角平分线的概念及通过轴对称了解了角平分线的性质，这为本节课证明三角形内角角平分线性质做好了铺垫。三角形角平分线性质的证明为学生学会思考问题、注重书写格式、清楚表达思考过程提供了方法，使学生体会证明的必要性。三角形角平分线性质的应用为今后证明线段相等或角相等（减少证三角形全等）开辟了新的途径。
学情分析
作为本章最后一课时的内容，通过前面的学习，学生已具备初步的演绎推理能力。而本节课在此基础上再次规范书写的合理性，同时注意在证明过程中蕴含的一些数学思想，如归纳法、类比法、转化法、反证法等思想。在本章的命题证明中，相对证明的技巧来说，证明的思路和方法更重要，所以要关注学生证明思路、证明方法的掌握情况，通过本节课的学习能为学生以后解决几何问题添加辅助线提供解决的方案。
三、教学目标
1．在角平分线的基础上归纳并证明三角形三个内角的平分线的相关性质．
2．能够运用三角形三个内角的平分线的性质解决实际问题．
3．提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
四、教学重点与难点
重点：在角平分线的基础上归纳并证明三角形三个内角的平分线的相关性质．
难点:能够运用三角形三个内角的平分线的性质解决实际问题．
教学关键
运用操作、观察、验证理解
教学方法
在学生实践操作、观察验证的基础上，运用直观教学发现法启发学生发现知识，再运用启发式教学法引导学生运用知识分析和解决问题，并利用多媒体辅助教学。
教具学具准备
课件、圆规、三角尺、自制任意三角形纸片
八、教学设计
（一）创设情境 激活思维
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？
[设计意图：从实际问题出发如何利用数学知识解决实际中的问题，设置悬念激发学生学习兴趣，唤醒学生的学习需要，为探究活动拉开序幕。]
（二）问题探究 思维生长
复习回顾角平分线的性质定理及判定定理，并填表格：
角平分线图形 角平分线性质 角平分线判定
∵点P在∠AOB的平分线上 ， 。 ∴ PE=PD ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴OP平分 。
【补充强调：性质定理和判定定理应用时的必要条件】
活动1 动手操作 猜想性质
分别作出△ABC的三条角平分线
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
[设计意图：学生思维以具体形象为主，通过作图在作图中多感官感受三角形角平分线的性质。]
性质1：三角形的三条角平分线相交于一点.该点在三角形的内部。
【补充说明：这点称为三角形的内心，即为三角形内切圆的圆心。】
活动2 动手测量 发现结论
分别过内心向三角形三边作垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
性质2：过内心作三角形三边的垂线段都相等.
活动3 小组讨论 验证结论
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？怎么证明结论呢？
三角形角平分线性质：三角形三个角的平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
[设计意图： 把学习主动权留给学生，在合作交流中激发思维增长。通过折叠再次印证结论，激发学生对背后原理的好奇心。]
活动4 逻辑证明 反思细节
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC
∵BM是△ABC的角平分线，且PD⊥AB，PE⊥BC
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
∴点P在∠A的平分线上。
[设计意图：综合应用角平分线的性质定理和判定定理，通过证明让学生再次认识到所得知识的合理性，同时注意书写的逻辑关系。]
（三）典型例题 巩固新知
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
∴∠B=45°
∴∠BDE=45°
∴BE=DE
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理的
∴
(2)证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
DE=CD AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
【本例题需要运用前面所学的角平分线性质定理、等腰三角形的等边对等角及勾股定理等多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握所学知识和方法，并能综合运用它们解决问题】
对点练习：
如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是 cm2．
分析:连接OA，
依题可得点O到三边的距离相等
∴S△ABC = （ AB+AC+BC）OD
= ×18×3
=27
深入思考：那么△AOB,△BOC,△AOC的面积之比和边长之比有什么关系？
结论：S△AOB:S△AOC:S△BOC=AB:AC:BC
【三角形角平分线性质的灵活运用，三个角平分线交于一点，可连接OA，把△ABC的面积转化成三个小三角形的面积和，又因为内心到三边的距离相等，所以△ABC的面积就是周长乘OD除2.本题比较灵活同时渗透求面积时可直接也可间接的思想。深入思考的问题能更好的加深学生对知识点的理解应用，对以后求面积比的问题上打好基础】
如图，已知∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线
求证：BD=2CD
【课本第32页的练习题，比较简单】
证明：∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=60°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°
∴AD=BD（等角对等边）
在RT△ACD中，∠CAD=30°
∴AD=2CD
即BD=2CD
（四）运用新知 解决问题
1.回到创设的情景问题，请学生解释选在△ABC两角平分线的交点处的合理性。
【前后呼应，利用新知解决问题】
2.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库。
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
【本题需要注意的是油库到公路的距离相等，而公路代表直线而非线段，所以考虑问题要全面。】
归纳小结 反思提高
在本节课的学习中，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
知识体系构建：
三角形三边垂直平分线与三条角平分线对比
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
直角三角形 交于斜边的中点
钝角三角形 交于三角形外一点
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
总结：中垂线的性质是点到点的距离相等；角平分线的性质是点到边的距离相等。
利用以上两个性质可得到线段相等。
（六）分层作业 深化新知
1.必做题：课本P31、P32 T2、T3
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD＝DF，
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
[设计意图:作业分为必做题和选做题，体现分层教学的理念。]
（七）板书设计
教学设计说明与反思
根据《义务教育数学课程标准（2011）版》的要求，推理能力是数学课程应当发展的核心素养之一，在此之前学生已在七年级上册第四章第4节学分线的定义、七年级下册第四章学习三角形的角平分线相关性质、第五章轴对称折叠发现角平分线的性质及尺规作图等内容。因此本节课重点在发展学生合情的推理能力，同时渗透简单的演绎推理训练，让学生理解几何命题之间的因果关系。下面就“角平分线第二课时”这一堂课教学为例，谈一谈自己的一些做法与体会。
结合实际教学，激发学生的学习兴趣
数学来源于生活，又服务于生活。在“导入新课”环节中，抛出一个关于如何修建凉亭的问题引发学生兴趣思考讨论。要找到三边距离相等的点，回顾上节课的内容角平分线的性质定理与判定定理，为下面活动拉开序幕。
组织实践操作活动，激励学生的探索精神
本节课以“角平分线”为主线索，用“动手”贯穿整课堂。以学生动手画图、观察、思考验证及相互交流谈论并尝试得出结论为主体，把学习过程真正还给学生。老师在巡查过程充分听取参与学生的小组讨论，发现有困难的小组要及时指导。
创造情感体验，启动思维空间
数学教学中，我们有时会直截了当告知学生一些结论，认为学生能够接受明白。很显然没有经过切身体会的知识点，等第二天再用时学生还是一脸茫然，因此本节课一直都建立在以学生情感体验的基础上一步步得出结论。无论是用尺规作三类三角形角平分线还是通过折叠验证三角形角平分线性质，都要留出足够的时间让学生研究。看似有些浪费时间实则在通过自主研究的过程中，学生思维得到锻炼，为后期完成综合题型打下坚实基础。
创设感悟情境，拓展感悟空间，提高学生触及数学本质的能力
优秀的课堂在于老师善于用引导的方法教育自己的学生，不牵着不强制学生的学习热情积极性才能倍增，启发而又有所含蓄，给学生的思维留有充分的空间，学生才能经过独立思考或合作探究出问题的本质。(共18张PPT)
课题：角平分线第二课时
（一）创设情境 激活思维
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？
（二）问题探究 思维生长
复习回顾角平分线的性质定理及判定定理，并填表格：
PD⊥OA
PE⊥OB
PD=PE
∠AOB
活动1
分别作出△ABC的三条角平分线
问题（1）
观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
活动1
分别作出△ABC的三条角平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
该点在三角形的内部，这点是三角形的内心
活动2
过内心向三角形三边作垂线，
用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
每组垂线段都相等.
活动3
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出
每个角的角平分线，观察这三条角平分线，
你是否发现同样的结论？
三角形角平分线性质定理：
怎么证明结论呢？
三角形三个角的平分线相交于一点,
并且这一点到三条边的距离相等
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，
BC，CA的距离相等.
活动4
同理 PE=PF
证明：过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE
且PD⊥AB，PE⊥BC
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
∴点P在∠A的平分线上。
∴PD=PE=PF
若点P是两角平分线的交点，则AP是∠BAC的平分线
且点P到三边距离相等
（三）典型例题 巩固新知
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,求AC的长;
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
在等腰RT△BDE中，由勾股定理的
∴∠B=45°
∴∠BDE=45°
∴BE=DE=4
（三）典型例题 巩固新知
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°,
AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
(2)证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC
∴AC=AE
又∵BE=DE=CD
∴ AB=AE+BE=AC+CD
DE=CD AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
分析法分析问题：从结论向已知推理
对点练习：
（1）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和
∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，
若OD＝3cm，则△ABC的面积是 cm2．
分析:连接OA，
依题可得点O到三边的距离相等
∴S△ABC= （ AB+AC+BC）OD
= ×18×3
=27
深入思考：△AOB,△BOC,△AOC的面积之比和边长之比有什么关系？
结论：S△AOB:S△AOC:S△BOC=AB:AC:BC
（2）如图，已知∠C=90°，∠B=30°，
AD是△ABC的角平分线
求证：BD=2CD
证明：∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠CAB=60°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°
∴AD=BD
在RT△ACD中，∠CAD=30°
∴AD=2CD
即BD=2CD
（四）运用新知 解决问题
1.如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭
供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭的位置应选在什么位置？
P
∴点P为所求位置
2.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个水库。
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，
那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，
那么如何选择油库的位置？
2.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个水库。
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，
那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，
那么如何选择油库的位置？
P1
P2
P3
P4
在本节课的学习中，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点
交于三角形内一点
直角三角形 交于斜边的中点 钝角三角形 交于三角形外一点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
（五）归纳小结 反思提高
三角形三边垂直平分线与三条角平分线对比
总结：中垂线的性质是点到点的距离相等；
角平分线的性质是点到边的距离相等。
利用以上两个性质可得线段相等
（六）分层作业 深化新知
1.必做题：课本P31、P32 T2、T3
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
（七）拓展提升 知识内化
如图，在△ABC中，∠ABC＝α，∠ACB＝β，点E在BC
的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线
CD相交于点D，连接AD.
求：∠DAC的大小
F角平分线（2）导学案
创设情境 激活思维
1.如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？
2.复习回顾角平分线的性质定理及判定定理，并填表格：
角平分线图形 角平分线性质 角平分线判定
∵点P在∠AOB的平分线上 ， 。 ∴ PE=PD ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴OP平分 。
（二）问题探究 思维生长
活动1 动手操作 猜想性质
分别作出△ABC的三条角平分线
问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？
问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？
问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？
性质1： 。
活动2 动手测量 发现结论
分别过内心向三角形三边作垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
性质2： 。
活动3 小组讨论 验证结论
拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？怎么证明结论呢？
三角形角平分线性质：
三角形三个角的平分线 ,并且这一点到 的距离 .
活动4 逻辑证明 反思细节
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P在∠A的平分线上，且点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（三）典型例题 巩固新知
例1：如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.
对点练习：
如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是 cm2．
如图2，已知∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线
求证：BD=2CD
（四）运用新知 解决问题
如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库。
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（五）分层反馈 深化新知
1.已知如图1，∠C=∠BED=90°，且CD=DE，AD=BD，则∠B= .
2.已知如图2，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
图1 图2
3.△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD＝DF，
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝α，∠ACB＝β，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.
求：∠DAC的大小
