1.1等腰三角形（第二课时）学案
新知导入
等腰三角形都有哪些性质呢？
新知探究
【探究1】等腰三角形的特殊性质
画一画：如图，在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.
猜一猜：作出的这些线段有什么关系？
例1：已知，如图2，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE.
图2
变式1：如图3，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC两腰上的中线.求证：BD=CE.
图3
议一议：如图3，在等腰三角形ABC中，点D、E分别在AC和AB上.
（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB，那么BD=CE吗？如果∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB呢？由此，你可以得到什么结论？
（2）如果CD=AC，BE=AB，那么BD=CE吗？如果CD=AC，BE=AB呢？由此，你可以得到什么结论？
变式2：已知：如图5， 在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的高.求证：BD=CE.
图5
【探究2】等边三角形的性质
例2：已知：如图6，在△ABC中，AB=AC=BC.
图6
归纳：________________________________________________________________________符号语言：∵______________________________，
∴______________________________.
双基巩固
例1:如图7，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能使BD=CE的是（ ）
BD，CE分别为AC，AB上的高
B. BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线
C. ∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB
D. ∠ABD=∠BCE 图7
例2:等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为___________.
例3:如图8，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A=____________.
图8
例4：如图9，△ABC与△BDE是等边三角形，连接AE，CD，求证：AE=CD.
图9
小结反思
谈谈本节课你的收获？
变式拓展
变式1：如图10，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（ ）
A．110° B．105° C．90° D．85°
变式2：（2018·玉林）如图11，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
图10 图11
作业布置
必做作业：P7习题第2、3题，变式拓展1、2题，
选做作业：学案选做部分
（选做）如图，△ABD和△CBD都是等边三角形，点E从点A沿边AD向点D运动（点E不与点A，D重合），点F从点D沿边DC向点C运动（点F不与点C，D重合）且满足AE=DF.
试猜想BE，BF的大小关系，并说明理由;
试说明点E从点A沿AD向点D运动的过程中四边形BEDF面积的变化情况，并说明理由.1.1等腰三角形（第二课时）教学设计
教材的地位和作用
“等腰三角形（第一课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节。从图形的观察到猜想再到严谨的证明进一步研究等腰三角形的特殊性质，丰富了学生实践探究的过程体验，为发展学生数学实践探究能力提供了平台.
本节课主要研究等腰三角形的特殊性质，特殊的等腰三角形（等边三角形）的性质，这是在已经学习了等腰三角形的性质、轴对称图形、全等三角形的知识上进行的，它既是拓展前面所学的知识，又为后面的几何证明打下更牢固的基础。本节课是继八上《平行线的证明》后再次让学生感受了证明的必要性，深刻体验了“探索——发现——猜想——证明”的全过程。学生通过学习本节课的知识掌握了用综合法证明相关命题，感受了数学的严谨性，对缜密思维、探究能力的培养有着举足轻重的作用.
学情分析
在七年级下册第四章《三角形》，学生经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；而上一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等腰三角形的判定定理都做了很好的铺垫。八年级学生已经具备初步的演绎推理能力，但是完整规范的语言表达还是欠缺的。所以在命题证明的过程中教师不仅要鼓励学生大胆表达自己的推理过程，而且要严格规范几何语言表述。本节课需要创造机会给学生大胆做猜想，充分发挥学生的主体作用，重视知识的生成过程.
教学目标
进一步探究等腰三角形的特殊性质，掌握等边三角形的性质定理，并运用
等边三角形的性质解决问题；
2.探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
3.在图形的观察中，揭示等腰三角形对称性的本质，发展几何直观，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性.
四、教学重难点
重点：等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质；
难点：等边三角形的性质及应用.
教学关键
运用观察、演绎推理来证明猜想，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点.
教学方法
在猜想验证、合作交流的基础上，教师先用讲授法引导学生证明性质及推理，然后用启发式教学法启发学生用相关知识解决问题、分析问题.
教具学具准备
PPT演示课件、实物展台、三角尺
八、教学过程
1.新知导入
同学们，在上一节课的学习中，探究了等腰三角形的性质，下面请同学们回答问题：等腰三角形都有哪些性质呢？
【设计意图】通过回顾等腰三角形的性质，为其特殊性质及等边三角形的性质的探究做好铺垫.
新知探究
【探究1】等腰三角形的特殊性质
画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.
图1
追问1：作出的这些线段有什么关系？
答案：如图1，作图观察，可以猜想：等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰上的中线、两腰上的高相等.
【学生活动】学生动手画图，并根据作图找出相等的线段，并得出猜想.
【设计意图】通过动手操作、观察探究等活动得到猜想.
追问2：你能证明猜想的结论吗？
例1：证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等.
已知：如图2，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ABC=∠ACB，BC=BC，∠1=∠2， 图2
∴△BDC≌△CEB（ASA）
∴BD=CE.
即等腰三角形两底角的角平分线相等.
【学生活动】在教师的引导下对猜想所得出的结论进行证明，证明完成后组内交流，并认真听教师讲评.
变式1：证明：等腰三角形的两腰上的中线相等.
已知：如图3，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC两腰上的中线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵BD，CE分别平分AC和AB，
∴CD=AC，BE=AB，
在△BDC和△CEB中， 图3
∵CD=BE，∠ABC=∠ACB，BC=BC，
∴△BDC≌△CEB（SAS）
∴BD=CE.
即等腰三角形两腰上的中线相等.
【学生活动】学生独立完成对猜想的证明，然后组内并派小组成员分享证明过程.
【设计意图】通过猜想、证明的过程培养学生的几何推理能力和表达能力.
议一议：如图4，在等腰三角形ABC中，点D、E分别在AC和AB上.
（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB，那么BD=CE吗？如果∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB呢？由此，你可以得到什么结论？
（2）如果CD=AC，BE=AB，那么BD=CE吗？如果CD=AC，BE=AB呢？由此，你可以得到什么结论？
图4
结论：（1）在△ABC中，如果AB=AC， ∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC， CD=AC，BE=AB，那么BD=CE.
【学生活动】学生口述回答并作简要证明.
追问：为什么等腰三角形有这样的特殊性质？
答：因为等腰三角形是轴对称图形，所以具有这样的特殊性质.
【设计意图】通过对等腰三角形特殊性质的拓展，引导学生在图形的观察和证明的过程中揭示等腰三角形对称性的本质.
变式2：证明：等腰三角形的两腰上的高相等.
已知：如图5， 在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵ BD和CE是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°.
在△BDC和△CEB中， 图5
∵∠ABC=∠ACB，∠CDB=∠BEC=90°，BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（AAS）
∴BD=CE.即等腰三角形两腰上的高相等.
【学生活动】学生小组讨论得出结论，并对结论进行证明，然后组内交流，最后教师点评.
【探究2】等边三角形的性质
思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
猜想：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
例2：已知：如图6，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中， 图6
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都等于60°
符号语言：∵△ABC是等边三角形（或AB=AC=BC），
∴∠A=∠B=∠C=60°.
【学生活动】学生根据等腰三角形的性质进行猜想，然后对所猜想的结论进行证明，完成后班内交流.
【设计意图】通过猜想、验证活动让学生体会等边三角形的性质及几何语言的规范表达.
双基巩固
例1:如图7，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能使BD=CE的是（ ）
A. BD，CE分别为AC，AB上的高
B. BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线
C. ∠ABD=∠ABC，∠ABE=∠ACB
D. ∠ABD=∠BCE
【设计意图】考查学生对等腰三角形特殊性质的掌握情况. 图7
例2:等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为___________.
【设计意图】通过角度的计算题加强学生对等边三角形的性质运用.
例3:如图8，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A=____________.
图8
【设计意图】考查学生对等腰三角形性质的综合应用，利用方程思想与三角形内角和求角的度数.
例4：如图9，△ABC与△BDE是等边三角形，连接AE，CD，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC与△BDE是等边三角形，
∴∠1=∠3＝60°，AB=BC，BE=BD
∴∠1+∠2＝∠2+∠3.
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD， 图9
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=CD.
【学生活动】学生先自主完成双基巩固练习，然后小组校对答案并进行班级交流，教师点评.
【设计意图】借助手拉手模型引导学生巩固等边三角形的性质，进一步训练学生规范的几何语言表达，发展几何证明能力.
课堂小结
在课堂的最后，我们一起回忆总结本节课所学的知识，同学们回答以下问题：
问题1：说说等腰三角形的特殊性质？
答案：（1）等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）等腰三角形两腰上的中线相等；
（3）等腰三角形两腰上的高相等.
问题2：说说等边三角形的性质？
答案：等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°.
问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？
答案：特殊到一般的思想、方程思想、逻辑推理.
变式拓展
变式1：如图10，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（ ）
A．110°
B．105°
C．90°
D．85° 图10
变式2：（2018·玉林）如图11，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
图11
【设计意图】两道变式训练一方面为了检查学生对双基巩固知识的掌握情况，另一方面训练学生的发散思维，引导学生利用等腰三角形的特殊性质、等边三角形的性质解决问题，发展应用意识.
6.作业布置
必做作业：P7习题第2、3题，变式拓展1、2题
选做作业：学案选做
板书设计
教学设计说明与反思
逻辑推理是六大数学核心素养之一，逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性基本保证，是人们在数学活动中进行交流的思维品质。基于数学核心素养下，教师要充分发挥学生的主体性，让学生能够发现问题和提出命题，深刻体验“探索——发现——猜想——证明”的全过程，让学生形成有条理、合乎逻辑的思维品质。在生活中，学生需要掌握分析问题、解决问题的本领。所以在教学中要创造机会给学生运用所学性质、结论解决问题，体会成功的喜悦，发展应用意识。于是，本节课我是这样构思的：
组织学生操作探究活动，激发学生的探究欲
通过画一画、追问等环节鼓励学生动手操作、观察分析，通过直观想象得到初步结论，最后加以验证。通过系列活动，帮助学生更好地掌握开放性、探究性问题的步骤和解法。在新课改的驱动下，数学教学更重视培养学生的探究能力，所以在课堂上给足学生时间体验探究活动的全过程，培养探究性思维.
鼓励学生大胆表现，培养学生的演绎推理能力
本节课涉及的问题和命题较多，若全部都要求学生写下来时间是完全不够用的，所以在教学中除了要求学生规范几何语言表述外，我还鼓励学生大胆发言，将证明思路清晰地向老师、同学阐述。如教师示范证明第一个命题，学生完整写下第二个命题证明过程，学生口述证明第三个命题，第四个命题。特别地，在议一议环节鼓励学生大胆发言，用归纳、类比的推理形式得到一般结论.在逻辑推理核心素养的过程中，学生需要能够表述论证的过程，增加数学交流的能力.
设计变式拓展，发展学生的思维品质
数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中，其中一条“组织好课堂层次序列，进行变式教学”，强调了变式训练的重要性。变式训练可以提供教学的有效性，有利于培养学生的综合思维能力，充分理解数学的本质。本节课关注了问题的变式与拓展，引导学生利用等腰三角形性质灵活应用。如在命题证明中，以命题一为原题，命题二、三为变式训练。在作业设计中设计了变式训练，进一步加强手拉手模型的应用，训练学生思维的灵活性.
总之，本节课侧重于等腰三角形拓展性质的探究和性质应用两个方面，让学生通过动手操作、动手操作、动眼观察、动口表述、动脑思考来参与学习过程，教师在此过程只是示范引导的作用，给足时间学生经历操作、猜想、发现、探究的全过程。这既重视了知识的生成过程，又体现了学生的主体地位；既培养了学生的探究能力，又发展了活跃的思维品质.
本节课虽然结束了，但是在培养学生探究能力和逻辑思维品质的道路上还有很大的挑战。这节课只是个起点，初中数学课程标准强调，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式，而数学课堂教学是培养学生的探究性方法方法的重要途径。在今后的教学中，对类似课堂会做进一步的思考和改进，争取让每个学生都学有所获.(共24张PPT)
课题：等腰三角形的性质（2）
导入新知
等腰三角形有哪些性质？
1.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴.
2.等腰三角形的两个底角相等（∠B=∠C）.
3.等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一）
新知探究
【探究一】等腰三角形的特殊性质
画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.
猜想：作出的这些线段有什么关系？
新知探究
【探究一】等腰三角形的特殊性质
等腰三角形两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高有什么关系？
猜想：底角的两条角平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
你能证明你的猜想吗？
新知探究
猜想证明：等腰三角形的两底角角平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
证明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
新知探究
新知探究
猜想证明：等腰三角形的两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的中线.
求证：BD=CE.
又∵CD= ，BE= ，
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CD=BE．
在△BDC与△CEB中，
∵ BC=CB,∠ACB=∠ABC, CD=BE，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD=CE.
新知探究
A
C
B
D
E
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB，
那么BD=CE吗 为什么？
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB 呢
由此你能得到一个什么结论
议一议：
如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB ， 那么BD=CE吗
BD=CE
BD=CE
BD=CE
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
A
C
B
D
E
(2)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
(3)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗 为什么？
BD=CE
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
如图,在△ABC中,AB=AC.
如果∠ABD= ∠ABC, ∠ACE= ∠ACB,那么 .
A
C
B
D
E
新知探究
为什么等腰三角形有这样的特殊性质？
等腰三角形是轴对称图形
BD=CE
如果AD= AC,AE= AB,那么 .
BD=CE
新知探究
猜想证明：等腰三角形的两腰上的高相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD和CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
又∵BD，CE是△ABC的高，
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠CDB=∠BEC=90°．
在△BDC与△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC, ∠CDB=∠BEC， BC=CB,
∴△BDC≌△CEB（AAS）．
∴BD=CE.
新知探究
思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理？
新知探究
【探究二】等边三角形的性质
定理证明
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
几何语言：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
双基巩固
D
考点：等腰三角形的特殊性质
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能使BD=CE的是（ ）
A. BD，CE分别为AC，AB上的高
B. BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线
C.∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
双基巩固
例2：等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为__________.
考点：等边三角形的性质、外角的性质
60°
双基巩固
例3：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD=BC，则∠A=____________.
考点：等腰三角形的性质、三角形内角和、外角性质
36°
双基巩固
例4：如图，△ABC与△BDE是等边三角形，连接AE，CD，求证：AE=CD.
考点：手拉手模型
∵△ABC与△BDE是等边三角形，
∴∠1=∠3＝60°，AB=BC，BE=BD
∴∠1+∠2＝∠2+∠3.即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE=CD.
证明：
课堂小结
问题1：等腰三角形有哪些特殊性质？
问题2：等边三角形有哪些性质？
问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
等腰三角形特殊线段的性质
底角的两条角平分线相等
两条腰上的高相等
两条腰上的中线相等
课堂小结
特殊到一般的思想
方程思想
逻辑推理
操作
观察
猜想
交流
证明
释疑
应用
作业布置
必做作业：P7习题1.2第2、3题，变式拓展1、2题
选做作业：学案选做部分
变式拓展
变式1：如图，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为（ ）
A．110°
B．105°
C．90°
D．85°
考点：等边三角形的特殊性质，外角性质
变式拓展
变式2：（2018·玉林）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
考点：手拉手模型，平行的判定
