6.4.1平面几何中的向量方法示课件（18张ppt）

(共18张PPT)
6.4.1平面几何中的向量方法
（3）两向量相等充要条件：
且方向相同。
（4）平面向量基本定理
温故知新
（1）、向量的数量积定义：
（2）、向量夹角公式： 与 的夹角为 则：
（3）、向量共线的充要条件： 与非零向量
共线 存在惟一的 ，使
（4）、两向量平行的充要条件：向量
平行
（5）、两向量垂直的充要条件：向量
（6）、向量不等式：
（7）、向量的坐标运算：向量
则
温故知新
1、我们学了向量的线性运算与数量积运算，你能说出它们的几何意义吗？
向量具有“几何”与“代数”的双重身份
2、向量的代数身份是通过什么来实现的？
O
A
B
O
A
B
坐标表示
O
B
A
B
C
A
D
数量积性质？
求模
求夹角
证垂直
这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算
问题：如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
A
B
C
D
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
分析：设 ,（选择这组基底）其它线段对应向量用它们表示。
思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？
A
B
D
C
解:设 ，则
∴
已知：平行四边形ABCD。
求证：
例1
思考：向量也可以坐标运算，本题如何建立直角坐标系
设点的坐标转化为向量的坐标运算？
A
B
D
C
X
Y
(a,0)
(a+b,c)
(b,c)
∴
解:如图建立直角坐标系,设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c)
用向量法解平面几何问题的基本思路
（1）建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、平行垂直等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
“基底化”
“坐标化”
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
思路分析
解决此类问题一般是将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，结合题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言 .
C
D
E
F
B
A
H
C
D
E
F
B
A
H
例3. 求证平行四边形对角线互相平分．
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设
则
根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以
解得
所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.
例4.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：选择正交基底{ }
在这个基底下
设
所以
因此DP⊥EF.
1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。
∴
课堂练习
2、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
即 ，∠ACB=90°
【课堂小结】
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路：
2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决。它既是一种数学思想，也是一种数学能力。其中合理选择基向量，并建立向量关系，是解决问题的关键。
形到向量 向量的运算 向量和数到形
3.化归思想方法与待定系数法