6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例课件（56张ppt）

(共56张PPT)
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
温故知新
1.正弦定理
正弦定理的变形：
2.余弦定理
余弦定理的变形：
温故知新
3.三角形面积公式
温故知新
4.三角形中的常见结论
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
(4)有关三角形内角的三角函数式
温故知新
(5) 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
温故知新
(2)基本思路：
实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解
抽象概括
示意图
演算
推理
还原说明
2.实际问题中的有关术语、名称
(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）.
铅垂线
视线
视线
水平线
仰角
俯角
④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从而得出实际问题的解.
温故知新
(2)方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如B点的方位角为α（如下图①）
(3)方向角
①正南方向：从原点O出发的经过目标射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依次可类推正北方向、正东方向和正西方向.
西 东
北 南
图①
温故知新
②东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南的夹角平分线（如图②）.
③北偏东α：从正北向正东方向旋转α角度（图③）
④南偏西β：从正南向正西方向旋转β角度（图④）
西 东
北 南
图④
东南方向
西 东
北 南
图②
西 东
北 南
图③
温故知新
A
A
B
B
C
C
a
a
b
b
温故知新
A
B
C
a
b
A
B1
B2
C
a
a
b
A
B
C
b
a=bsinA
A
B
C
b
a温故知新
方法二：画圆法
温故知新
若A为锐角时:
若A为直角或钝角时:
温故知新
题型一　计算三角形的面积
【例1】
如图，在△ABC中，已知，B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
【例2】
题型二　计算线段的长度
已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，求BD的长．
【例3】
(1)求角C的大小；(2)求sin A＋sin B的最大值．．
【题后反思】 此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．
【训练3】
A
C
B
51o
55m
75o
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
解：根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米。
A
B
C
D
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，
∠ADB=δ
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ，BDA=
求A、B两点间距离 .
练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔C在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
C
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
C
A
B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？
想一想
B
E
A
G
H
D
C
2、底部不能到达的
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。
B
E
A
G
H
D
C
解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
B
E
A
G
H
D
C
分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长
A
B
C
D
a
b
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答：山的高度约为150米。
解：在⊿ABC中，∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
A
B
C
D
a
b
例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.
解：在⊿ABC中，∠A=15°,
∠C= 25° 15°=10°.
根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile）
解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
1 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在点Ｃ1 ，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是 ＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m. 计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).
D
C


B
A
A1
C1
D1
课堂训练
分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.
3.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛
间的距离，请你算算看.
A
C
B
10海里
60°
75°
4.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
解：AB=16，由正弦定理知：
可求得BS≈7.7海里.
答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.
A
B
S
16
？
5 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动,到达B点时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动.如图,已知
若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球
A
B
D
45O
分析 机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建立AC与BC之间的关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.
解.设机器人最快可在C处截住足球,点C在线段AD上.设BC=x dm,由题意,CD=2x dm.
A
B
D
45O
C
AC=AD-CD=(17-2x) dm.
在△BCD中,由余弦定理,得.
即
解得
所以
(不合题意,舍去)
答 该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.
6如图,已知⊙O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是⊙O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.
(1)若∠POB=θ,试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数;
(2)求四边形OPDC面积的最大值.
A
O
B
D
C
P
分析 四边形OPDC可以分成△OPC与△PCD.S△OPC可用
表示;而求△PCD的面积的关键在于求出边长PC,在△OPC中利用余弦定理即可求出;面积最值,可通过函数解决.
解.(1)在△POC中,由余弦定理,得.
所以
(2)当
时,