1.3空间几何体的表面积与体积同步课时作业-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修2（word含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3空间几何体的表面积与体积同步课时作业-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修2（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 524.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-19 10:04:11 | ||
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文档简介
1.3 空间几何体的表面积与体积-2021-2022学年高一数学人教A版必修2同步课时作业
1.长方体中，，，，P为该正方体侧面内(含边界)的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为.若的面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A.12π B.20π C.24π D.32π
4.在圆柱内有一个球O，球O分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若，则圆柱的表面积为( )
A.4π B.5π C.6π D.7π
5.已知球O的半径为2，三棱锥四个顶点都在球O上，球心O在平面内，是正三角形，则三棱锥的最大体积为( )
A. B. C. D.3
6.如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A.15 B.18 C.30 D.90
7.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为( )
A. B. C. D.
8.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.在长方体中，，，，M，N分别在线段和AC上，，则三棱锥的体积最小值为( )
A.4 B. C. D.
10.已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知四棱台，中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为__________.
12.三棱锥中，，，点D是侧棱PB的中点，且，则三棱锥的外接球O的表面积___________.
13.在平面四边形PACB中，已知，，，.沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为_________.
14.已知四棱锥中，，，，，，平面ABCD，.
(1)设平面平面，求证：；
(2)若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，由椭圆性质可知，点P在面中运动的轨迹为椭圆的一段弧，在平面直角坐标系中画出平面和点P轨迹如下图所示，因为四棱锥底面积不变，所以当点P运动到位置时，体积最大，当点P运动到或位置时，体积最小，设椭圆方程为，因为中，所以，解得，因为，所以，所以，所以椭圆方程为，当或-1时，解得，当时，解得.所以四棱锥的体积最大为：，最小为：，所以四棱锥的体积取值范围为.
2.答案：C
解析：如图所示，设底面半径为，
PA与圆锥底面所成角为60°，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C.
3.答案：B
解析：将三棱锥放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.设长方体的外接球的半径为R，则，故.所以外接球的表面积为，故选：B.
4.答案：C
解析：依题意可得圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：C.
5.答案：B
解析：由于球O的半径为2，是正三角形，所以，，
所以当平面ABC时，三棱锥的体积最大.
三棱锥的最大体积为.
6.答案：D
解析：长方形体积=
7.答案：B
解析：如图，过点作，垂足为E，由四个侧面的面积之和为可知，侧面的面积为，所以，则.由题意得，在中，.连接AC，，过点作，垂足为F，易知四边形为等腰梯形，且，，则，所以，所以该方亭的体积，故选B.
8.答案：D
解析：设圆柱的底面半径为r，则底面圆的周长为，根据圆柱的侧面展开图是面积为的正方形知，，，所以这个圆柱的体积为.故选：D.
9.答案：A
解析：如图，平面就是平面，因此点D到平面的距离为定值.
由题意易知四边形是正方形，由对称性知当M(或N)与A重合时，到直线MN的距离最小，最小值为5，此时，所以.故选A.
10.答案：A
解析：如图，
设球O的半径为R，是的外心，外接圆的半径为r，
则平面ABC，在中，，，则，
由正弦定理可得，即，
在中，有，得，
球O的表面积为.
11.答案：
解析：沿四棱台的相对侧棱，，作截面大圆，如图所示.
过球心O作AC的垂线交AC于点E，交于点，连接OA，，设球的半径为R，由题知，，，所以，，从而，解得，所以该四棱台的外接球的表面积为.
12.答案：
解析：依题意，由，，得.连接AD，由点D是PB的中点且，得，又，，可知，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.
以为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面的距离.由正弦定理得的外接圆半径，所以球O的半径，故球O的表面积.
13.答案：
解析：当PA与平面ABC所成的角最大时，最大角为，此时平面平面ABC.
在中，由余弦定理可得，又，为直角三角形，，平面PAB.
如图，设四面体的外接球的球心为O，截面ABC对应圆的圆心为，截面PAB对应圆的圆心为H，E为AB的中点，则球心O到平面PAB的距离为.设的外接圆半径为r，由正弦定理可得，则.设四面体的外接球半径为R，连接OA，AH在中，，解得.
14.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB.
因为平面PCD，平面平面，
所以.
(2)解：，
平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等.
由条件易得平面PAB且
.
1.长方体中，，，，P为该正方体侧面内(含边界)的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为.若的面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A.12π B.20π C.24π D.32π
4.在圆柱内有一个球O，球O分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若，则圆柱的表面积为( )
A.4π B.5π C.6π D.7π
5.已知球O的半径为2，三棱锥四个顶点都在球O上，球心O在平面内，是正三角形，则三棱锥的最大体积为( )
A. B. C. D.3
6.如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ）
A.15 B.18 C.30 D.90
7.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为( )
A. B. C. D.
8.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.在长方体中，，，，M，N分别在线段和AC上，，则三棱锥的体积最小值为( )
A.4 B. C. D.
10.已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知四棱台，中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为__________.
12.三棱锥中，，，点D是侧棱PB的中点，且，则三棱锥的外接球O的表面积___________.
13.在平面四边形PACB中，已知，，，.沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为_________.
14.已知四棱锥中，，，，，，平面ABCD，.
(1)设平面平面，求证：；
(2)若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，由椭圆性质可知，点P在面中运动的轨迹为椭圆的一段弧，在平面直角坐标系中画出平面和点P轨迹如下图所示，因为四棱锥底面积不变，所以当点P运动到位置时，体积最大，当点P运动到或位置时，体积最小，设椭圆方程为，因为中，所以，解得，因为，所以，所以，所以椭圆方程为，当或-1时，解得，当时，解得.所以四棱锥的体积最大为：，最小为：，所以四棱锥的体积取值范围为.
2.答案：C
解析：如图所示，设底面半径为，
PA与圆锥底面所成角为60°，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C.
3.答案：B
解析：将三棱锥放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.设长方体的外接球的半径为R，则，故.所以外接球的表面积为，故选：B.
4.答案：C
解析：依题意可得圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：C.
5.答案：B
解析：由于球O的半径为2，是正三角形，所以，，
所以当平面ABC时，三棱锥的体积最大.
三棱锥的最大体积为.
6.答案：D
解析：长方形体积=
7.答案：B
解析：如图，过点作，垂足为E，由四个侧面的面积之和为可知，侧面的面积为，所以，则.由题意得，在中，.连接AC，，过点作，垂足为F，易知四边形为等腰梯形，且，，则，所以，所以该方亭的体积，故选B.
8.答案：D
解析：设圆柱的底面半径为r，则底面圆的周长为，根据圆柱的侧面展开图是面积为的正方形知，，，所以这个圆柱的体积为.故选：D.
9.答案：A
解析：如图，平面就是平面，因此点D到平面的距离为定值.
由题意易知四边形是正方形，由对称性知当M(或N)与A重合时，到直线MN的距离最小，最小值为5，此时，所以.故选A.
10.答案：A
解析：如图，
设球O的半径为R，是的外心，外接圆的半径为r，
则平面ABC，在中，，，则，
由正弦定理可得，即，
在中，有，得，
球O的表面积为.
11.答案：
解析：沿四棱台的相对侧棱，，作截面大圆，如图所示.
过球心O作AC的垂线交AC于点E，交于点，连接OA，，设球的半径为R，由题知，，，所以，，从而，解得，所以该四棱台的外接球的表面积为.
12.答案：
解析：依题意，由，，得.连接AD，由点D是PB的中点且，得，又，，可知，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.
以为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面的距离.由正弦定理得的外接圆半径，所以球O的半径，故球O的表面积.
13.答案：
解析：当PA与平面ABC所成的角最大时，最大角为，此时平面平面ABC.
在中，由余弦定理可得，又，为直角三角形，，平面PAB.
如图，设四面体的外接球的球心为O，截面ABC对应圆的圆心为，截面PAB对应圆的圆心为H，E为AB的中点，则球心O到平面PAB的距离为.设的外接圆半径为r，由正弦定理可得，则.设四面体的外接球半径为R，连接OA，AH在中，，解得.
14.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB.
因为平面PCD，平面平面，
所以.
(2)解：，
平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等.
由条件易得平面PAB且
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